推定区間について

質問

統計学の区間推定の問題について質問です。

ある生産現場で１００個の製品を抽出して検査したところ、４個の不良品が見つかった。
この生産工場での不良率（P)を信用係数９５％で区間推定せよ。

（注）√0.04×√0.96=0.196

この問題を教えて欲しいです！

回答No.1

stomachman

問題は、「ランダムに（とは書いてないけど、こう仮定しないと話が進まない）確率pで不良が発生する」という条件のもとで、100回中4回不良が発生するという現象が95%の信頼度で珍しくない（少なくとも5%の出現率を持つ）と言えるようなpの範囲を求めています。
　確率pで生じる事象がn回中k回発生する確率は二項分布
　　B(p,n,k)=(nCk) (p^k)((1-p)^(n-k))
　　nCk = n!/(k!)/((n-k)!)
に従い、「n回中に事象がr回生じるということが、少なくとも5%の出現率を持つ」というのは
　　Σ{k=r～n} B(p,n,k) ≧ 0.05
　　Σ{k=0～r} B(p,n,k) ≦ 0.05
が両方とも成立つということ。

　ついでに、これらの式の左辺にある総和は、（pが既知なら地道に計算すりゃいいんですが、pが未知なんですからそうも行かず）F分布を使って計算する。あるいは、n=100ぐらいになれば二項分布を平均np, 分散np(1-p)の正規分布で近似してから正規分布表を使うという近似法もあります。
　(大抵の)F分布表は、自由度(a,b)を指定したとき、F分布 G(a,b,x) について、∫{t～∞}G(a,b,x)dx=0.05となるtの値を見つけるための表です。これと二項分布との関係はというと：
　　a = 2(r+1)
　　b = 2(n - r)
とするとき
　　Σ{k=0～r} B(p,n,k) = ∫{bp/(a(1-p))～∞}G(a,b,x)dx
　　Σ{k=0～r} B(p,n,k) = ∫{a(1-p)/(bp)～∞}G(b,a,x)dx
が成立つってことです。

お礼

さっそくわかりやすい回答有難うございます。

テストで出るんですができれば
解答の際、途中式が少しでも抜けてたらダメなので
書かなければならない途中式と答えまで
お願いできないでしょうか？すみません！