位相変化

質問

棒の中をx軸の正方向に伝搬する縦波y(x,t)=Acos(kx-wt)が、x=20の位置にある自由端で反射するときの反射波をy(x,t)=Acos(kx+wt+β)とする。　位相変化βを求めよ。

全くわかりません。詳しい解説お願いします。

回答No.1

Tann3 · ベストアンサー

「自由端で反射」という問題なので、「固定端での反射」と「自由端での反射」を勉強した後の問題ですよね？

　「固定端での反射」と「自由端での反射」を復習した方がよいと思います。
　そこからすぐ答えは出るのですが、基本からたどってみましょう。

　まずは、ビジュアル化されたサイトがありましたので、イメージをつかんでください。↓
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/2-1-0-0/2-1-2-4koteitannjiyuutann.html

　縦波　y(x,t)=Acos(kx-wt)　とは、ある瞬間（tがある値t0のとき）には、波の全体の形が　y(x)=Acos(kx-wt0)　、また、ある座標（xがある値x0のとき）では、時間とともに　　y(t)=Acos(kx0-wt)　で上下の揺れているということです。

　x=20の位置にある自由端で反射、ということは、この後半のように、x=20 の座標での　y1=Acos(20k-wt)　と　反射波　y2=Acos(20k+wt+β)　の関係を調べればよいのです。

　自由端では、　y1=y2　になるということがポイントです。（上にあげたリンク先の動画を見てください）
　波の進む方向が逆なので、cosθ＝cos（-θ）の関係も用いて、

　　　　　20k-wt = -(20k+wt+β)

　これから、βの値が求まりますね。（β＝-40k）

　別な解法として、x＝20 で反射した波は、元の波 y(x,t)=Acos(kx-wt) の x を （40-x） で置き換えたものに等しい（x＝20 で左右対称）という方法もあります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
もし、この問題が自由端ではなく、固定端の場合はどうなるのですか？

回答No.2

Tann3

No.1です。「お礼」に書かれた追加質問について。

＞もし、この問題が自由端ではなく、固定端の場合はどうなるのですか？

　固定端って、自由端に比べると直観的には分かりにくいですね。

　イメージとしては、一端を壁に釘で固定した「縄跳びの縄」を想定して、「エイッ」と山を作って送ったときに、壁にぶつかって戻って来るような場面を想定してください。
　「エイッ」と作った山が、縄の向こう側を引き上げて、山がどんどん向こうに進んで行きます。壁で釘に結び付けられているため、縄の山が釘を引き上げようとしますが、持ち上がりません。
　釘の反力（抗力）が、今度は縄を下に引き下げようとします。このため、下向きの力が縄に「谷」を作って反射して来ます。

　こんな感じで、固定端での反射がイメージできますでしょうか。

　式で書くと、x=20の位置にある固定端で反射、ということは、x=20 の座標での

　　入力波：　y1=Acos(20k-wt)
　　反射波：　y2=Acos(20k+wt+β)

の関係で、固定端では　y1 = -y2　になるということがポイントです。（上のイメージで考えてみてください）
　-cosθ＝cos（π-θ）の公式を使います。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。