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三角形を分割したときの面積比と長さ など
englishquestionの回答
No.1やNo.2の方と同じことなのですが、ちょっと違う見方で説明します。 △ABQ と △ABM と △QBM は、底辺を、AQ、AM、QM と考えると、 高さが等しいと考えることができます。 △ACQ と △ACM と △QCM は、底辺を、AQ、AM、QM と考えると、 高さが等しいと考えることができます。 BM:MC=△ABM:△ACMですから(底辺をBM、CMと見て高さが共通)、 今度は、AMを共通の底辺と見た時、 △ABMと△ACMの高さの比がBM:MCというように考えられます。 そして、△ABQ:△ACQの比も、AQを共通の底辺と見れば、 三角形の高さの比に等しいです。 △ABQと△ABMで高さは等しく、△ACQと△ACMで高さは等しく、 そして、△ABMと△ACMの高さの比がBM:MCなんですから、 △ABQと△ACBの高さの比もBM:MCです。 よって、△ABQ:△ACQ=BM:MCになります。 ---------------------- 高1のときにチェバの定理を習っていませんでしょうか。 チェバの定理の証明を復習してみてください。 http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm ---------------------- BM:MC=4:3 について 別解です。 ベクトルの矢印を以下省略します。 5QA+6QB+8QC=0 を変形します。 -5QA =6QB+8QC =14((6/14)QB+(8/14)QC =14((3/7)QB+(4/7)QC) (3/7)+(4/7)=1 に注目してください。 こうなるように変形しています。 合計1になるようにしているのは、 BCを内分する点を表したいからです。 (5/14)AQ=(3/7)QB+(4/7)QC MはAQとBCの交点なので、 上記の右辺、(3/7)QB+(4/7)QCがQMを表します。 よって、BM:MC=(4/7):(3/7)=4:3 です。 ---------------------- ついでに。 (5/14)AQ=QM ですから、 AQ:QM=14:5 です。 これは、△ABQ+△ACQ : △QBC に等しいです。 底辺の比ですから。 実際、解説図でも、(8)+(6) : (5) になっています。 5QA+6QB+8QC=0 のとき、AQ:QMを求めよ とか 典型的な問題ですので理解しておきましょう。 ---------------------- 解説で「右図のように描けるので」と最初にありますが、 これを証明するには、上記のように変形しますので、 解説はなんだか順序が逆な気がしてしまいます。 これよりも前にこのことをこの本で説明しているのですかね。 センター対策にはこういうことを暗記しておくのもいいとは思いますが、 そんなことよりも基本を忘れないほうがよいと思います。 なお、上記では5QA+6QB+8QC=0のまま、 つまりベクトルの始点をQにおいたまま変形しましたが、 ベクトルの始点をAに変えてももちろん解けます。 そちらの方が一般的かもしれません。 5QA+6QB+8QC=0 5(AA-AQ)+6(AB-AQ)+8(AC-AQ)=0 -5AQ+6AB-6AQ+8AC-8AQ=0 19AQ =6AB+8AC =14((6/14)QB+(8/14)QC =14((3/7)QB+(4/7)QC) AQ=(14/19)AM (MはBCを4:3に内分する点) そして、このような基本がわかっていれば、これを立体に応用できます。 例えば、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1489834079 です。 余裕があれば理解しておいてください。
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お礼
皆さんいろいろな回答をありがとうございました! どれも分かりやすかったのですが、単純な初等幾何的解放であり もっとも分かりやすかったのでenglishquestionさんの回答をベストアンサーにさせていただきます。