三角形を分割したときの面積比と長さ など

質問

下図の問題でなぜ
BM:MC=△ABQ:△ACQといえるのでしょうか？

自分で考えても分からなかったので、教えてください。

回答No.3

englishquestion · ベストアンサー

No.1やNo.2の方と同じことなのですが、ちょっと違う見方で説明します。

△ABQ と △ABM と △QBM は、底辺を、AQ、AM、QM と考えると、
高さが等しいと考えることができます。
△ACQ と △ACM と △QCM は、底辺を、AQ、AM、QM と考えると、
高さが等しいと考えることができます。

BM:MC=△ABM:△ACMですから（底辺をBM、CMと見て高さが共通）、
今度は、AMを共通の底辺と見た時、
△ABMと△ACMの高さの比がBM:MCというように考えられます。
そして、△ABQ:△ACQの比も、AQを共通の底辺と見れば、
三角形の高さの比に等しいです。

△ABQと△ABMで高さは等しく、△ACQと△ACMで高さは等しく、
そして、△ABMと△ACMの高さの比がBM:MCなんですから、
△ABQと△ACBの高さの比もBM:MCです。
よって、△ABQ:△ACQ=BM:MCになります。

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高1のときにチェバの定理を習っていませんでしょうか。
チェバの定理の証明を復習してみてください。
http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

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BM:MC=4:3 について　別解です。

ベクトルの矢印を以下省略します。
5QA+6QB+8QC=0　を変形します。

-5QA
=6QB+8QC
=14((6/14)QB+(8/14)QC
=14((3/7)QB+(4/7)QC)

(3/7)+(4/7)=1 に注目してください。
こうなるように変形しています。
合計1になるようにしているのは、
BCを内分する点を表したいからです。

(5/14)AQ=(3/7)QB+(4/7)QC

MはAQとBCの交点なので、
上記の右辺、(3/7)QB+(4/7)QCがQMを表します。

よって、BM:MC=(4/7):(3/7)=4:3 です。

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ついでに。
(5/14)AQ=QM ですから、
AQ:QM=14:5 です。

これは、△ABQ+△ACQ ： △QBC に等しいです。
底辺の比ですから。

実際、解説図でも、(8)＋(6) ： (5) になっています。

5QA+6QB+8QC=0 のとき、AQ:QMを求めよ とか
典型的な問題ですので理解しておきましょう。

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解説で「右図のように描けるので」と最初にありますが、
これを証明するには、上記のように変形しますので、
解説はなんだか順序が逆な気がしてしまいます。
これよりも前にこのことをこの本で説明しているのですかね。

センター対策にはこういうことを暗記しておくのもいいとは思いますが、
そんなことよりも基本を忘れないほうがよいと思います。

なお、上記では5QA+6QB+8QC=0のまま、
つまりベクトルの始点をQにおいたまま変形しましたが、
ベクトルの始点をAに変えてももちろん解けます。
そちらの方が一般的かもしれません。
5QA+6QB+8QC=0
5(AA-AQ)+6(AB-AQ)+8(AC-AQ)=0
-5AQ+6AB-6AQ+8AC-8AQ=0
19AQ
=6AB+8AC
=14((6/14)QB+(8/14)QC
=14((3/7)QB+(4/7)QC)
AQ=(14/19)AM （MはBCを4:3に内分する点）

そして、このような基本がわかっていれば、これを立体に応用できます。
例えば、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1489834079
です。
余裕があれば理解しておいてください。

お礼

皆さんいろいろな回答をありがとうございました！

どれも分かりやすかったのですが、単純な初等幾何的解放であり
もっとも分かりやすかったのでenglishquestionさんの回答をベストアンサーにさせていただきます。

回答No.4

englishquestion

No.3です。
最後にリンクした立体の体積比の問題の回答が
リンクでは間違えていると思いますので
念のため補足しておきます。

「ここから点pは、afを11：1に内分する点とわかります。」
ここまでいいのですが、
「四面体abcdと四面体pbcdの体積比は、
底面bcdが共通で高さの比がap：afであることから、
ap：af つまり、12：11となります。」
これは、
「四面体abcdと四面体pbcdの体積比は、
底面bcdが共通で高さの比がaf：pfであることから、
af：pf つまり、12：1となります。」
が正しいと思います。

補足ついでに。
もしかしたらその本にこのあと出ているのかもしれませんが。

平面の三角形の場合、
rQA+sQB+tQC=0 となる点Qを△ABCの中に取ると、
△QBC:△QCA:△QAB=r:s:t になります。
立体の三角すいの場合、
rQA+sQB+tQCtuQD=0 となる点Qを三角すいABCDの中に取ると、
三角すいQ-BCD : 三角すいQ-CDA : 三角すいQ-DAB : 三角すいQ-ABC
= r:s:t:u になるんだと思います。（体積比）

回答No.2

pingpong001

△ＱＢＭ：△ＱＣＭは高さが等しいので，そのまま底辺の比になり，＝ＢＭ：ＭＣですよね。
△ＡＢＭ：△ＡＣＭも同じく，ＢＭ：ＭＣになります。
△ＡＢＱ＝△ＡＢＭ－△ＱＢＭ
△ＡＣＱ＝△ＡＣＭ－△ＱＣＭ
同じ比のものから同じ比のものを引いても同じ比
よって△ＡＢＱ：△ＡＣＱ＝ＢＭ：ＭＣ

回答No.1

shuu_01

BM:MC=△ABQ:△ACQ　に関しては、

△ABM と AMC は高さが同じ、底辺が BM、MC ですので

△ABM ： AMC ＝ BM：MC

△ABQ と △ ACQ は
各々 △ABM、△AMC の面積の AQ / AM　ですので

△ABQ ： △ ACQ ＝ △ABM ： AMC ＝ BM：MC

となり、文句ありません

でも、なんでいきなり △ABQ ： △ACQ ＝ ８：６ なのか
わかりませんでした

最初に AM が∠A の二等分線と言ってるのだったら、
三角形の角の二等分線の定理で納得するのですけど、、、

僕は学校を卒業して何年もたち、ベクトルなんて
とうの昔に忘れ、そもそもベクトルなんて習ったっけ？
という位、忘れ去ってます

そこで、すごい泥臭い解き方をするかもしれませんが：

→　　　→
QM は QA と反対側を向いてるので、
→　　　　→
QM ＝ k QA　と置くことができます

→　　　→　　　→　　　　　　　 →　　　　　　　　→　　 →
BM ＝ QM － QB ＝ (6/5）k QB ＋ （8/5）k QC － QB

→　　　→　　　→　　　→　　　　　　　 →　　　　　　　　→
MC ＝ QC － QM ＝ QC － (6/5）k QB － （8/5）k QC

これが同じ方向を向いているとして、解くと、、、

面倒臭いけど、 k ＝ 5/14

→　　　　　　　 →　　　　　　　→
BM ＝ （4/7） QC － （4/7） QB

→　　　　　　　 →　　　　　　　→
MC ＝ （3/7） QC － （3/7） QB

となり、BM：MC ＝ ４：３ と導きました、、、

本当はもっと簡単にわかるのかも、、、