複雑な電気回路で必要最少なループの選び方は？

質問

図のような、電気回路があるとします。電池以外の黒塗りは抵抗だとします。各抵抗を流れる電流を求める場合のループの選び方を考えたいのです。この程度の回路だと直感的に3個選ぶ必要があることがわかります。b,c,dのような選び方はダメですし、4つ選ぶ必要はありません。参考書などを見ると、枝路をすべてなぞるように選べばよい、とありますが、それだとf,gのふたつ選んでもOKなことになりますが、これではひとつ式が足りません。わたしが考えたところ、組み合わせることですべてのループが再現可能で最少なループを選ばなくてはならないようです。
その選び方の端的な法則はないものか、というのが質問です。図のような簡単な回路だと直感でわかるのですが、複雑な回路ではどのループを選ぶのか、いくつループを選ぶのか、よくわかりません。
物理というよりパズルの問題のようですが、よろしくお願いします。

回答No.4

moumougoo · ベストアンサー

グラフ理論&電気回路で検索ですかね。
参考URLの最後の方に体系的な解き方の記載が有るようです。
失礼しました。

参考URL：

http://cms.db.tokushima-u.ac.jp/DAV/lecture/125260/LectureNote/Circuit/CFormulation.pdf

お礼

回答ありがとうございました。
なにか端的で簡潔なループの選び方の法則があるのではないか、と思っていたのですが、一筋縄ではいかないようですね。参考URLのページをざっと眺めてみたのですがにわかには理解できませんでした。じっくり読み直してみます。
ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

最少独立変数を選定し回路式を解く、というのは、理論的には「オモシロい課題」みたいですネ。
ふつうは「解ければいいジャン」で済ませますけど…。

参考 URL / 電気回路の混合解析における微分代数方程式の指数最小化
　　↓　これしかリーチできませんでしたけど、もっとあるはず。

参考URL：

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1629-13.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
「解ければいいジャン」なのですが、簡単な法則性があればと思ったのです。そうはいかないようですね。
当方、高校程度の数学の知識しかなく、参考URLのページはチンプンカンプンでした。
とにかくなかなか難しいということがわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.2です。

ループにはキルヒホッフの電圧則を適用します。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

未知変数を電流とすると、各抵抗に流れる電流は5つあります。
代数学の定理により、未知変数の個数以上の方程式がなければ解が得られません。

さらに、選んできた方程式の定数行列が正則である組み合わせである必要があります。

これらの規則に則ればループは最低5つ必要です。

お礼

回答ありがとうございます。
わたしの説明不足でした。キルヒホッフの第一法則を中央の二つの交点に適用して二式、第二法則を三つのループに適用して3式、これで図の回路の電流は求まります。第一法則は当然として、第二法則のループの選び方を簡単に表現することはできないものか、ということだったのです。
説明不足ですいませんでした。

回答No.1

Tann3

電流の重ね合わせの原理を考えれば、電圧の高い側から「分岐→分岐→・・・」を考えて、最終的に電池に戻る経路を全て考えればよいはずです。電池を含まないb/c/dは経路として意味がありません。

　図の場合、電流が時計回りに流れるとすると、

（１）左辺中央で分岐。

（２）上記（１）で右側に分岐したものが、中央で上と右に分岐。

（３）上記（１）で上に分岐したものが、上辺中央で下と右に分岐。

の分岐があります。これ以外はありません。（これ以外の交点は、電位差から考えて「合流」であって「分岐」ではない）

　（１）と（２）の分岐は、ｅとｆで表わされます。
　（１）と（３）の分岐は、ａとgで表わされます。

　従って、この回路の場合は、a/e/f/gの4つの経路が必要です。
　3個では足らないように思えますが？　3個でよいと考えた根拠は何でしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
a,e,f,gの選び方ですが、その内3つを組み合わせれば、残りの1つが導かれます。やはり3つです。
わたしの説明が足らなかったのですが、キルヒホッフの第一法則を中央の二つの交点に適用して2式、第二法則を三つのループに適用して3式、これで図の回路の電流は求まります。第一法則は当然として、第二法則を立てるのに必要最小限なループの選び方というものがどういうものかというのがわたしの質問だったのです。
説明不足ですいませんでした。