流体力学の問題が分からなくて困っています

質問

図はプロペラによって流速が大きくなる空気の流れをしめしている。今伴流境界の内部の流体だけを対象にしてプロペラを通る流れの様子を考えてみる。図に示すように1～4までの4つの断面における流速と圧力をそれぞれv1,v2,v3(v2=v3),v4およびp1,p2,p3,p4であるとしプロペラの位置における流路断面積をAとする。空気の密度は一定である。

1プロペラを通る質量流量mを示せ

2空気がプロペラを通過する際プロペラが空気に及ぼす力Fを示せ(p2,p3を使うこと)

3プロペラが1秒間に空気に与えるエネルギーL(W)を示せ(p2,p3を使うこと)

4流れ全体に運動量の法則を適用してv1,v2,v4,p2,p3の関係を示せ

5v2=(v1＋v4)/2であることを示せ

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

いや～、この問題には、
わたしも、正直、困っています（ポリポリ）。

この問題にある図ですと、p3 = p4ですよね。
すると、ベルヌーイの式
　(1/2)・ρv3^2 + p3 = (1/2)・ρv4^2 + p4
となり、
　v3 = v4 (=v2)
となってしまいます。
ですから、
　p3 ≠ p4
でなければいけない。
p4 = p1
だと思うんですよ。

図の読み方を、わたしが間違っている可能性もあるのですが・・・。

ですから、この仮定（私の仮定）にしたがって、この問題を解きます。

１　m = ρv2A = (ρv3A)

２　力F = (p3-p2)A

３　L = F・v2 = (p3-p2)v2A

４　運動量の変化 = m(v4-v1) = ρv2A(v4-v1)
　これが力Fと同じなのだから、
　ρv2A(v4-v1) = (p3-p2)A
　ρv2(v4-v1) = p3-p2

５　検査面１と検査面２でベルヌーイの式を立てると、
　(1/2)・ρv1^2 + p1 = (1/2)・ρv2^2 + p2　　　　（I）
　検査面４と検査面３ベルヌーイの式を立てると、
　(1/2)・ρv4^2 + p1 = (1/2)・ρv2^2 + p3　　　　（II）

　で、（II）を（I）で引くと、
　(1/2)・ρ(v4^2 - v1^4) = (1/2)・ρ(v4+v1)(v4-v1) = p3-p2 = ρv2(v4-v1)
　両辺をρv2(v4-v1)で割ると、
　v2 = (v1+v4)/2

でも、これは問題が要求している答えの求め方とは違う可能性があります。

んっ、じゃなくて、
ベルヌーイの式を立てずに、
３の結果を使って、
　L = F・v2 = (p3-p2)v2A　= (1/2)・ρv2A(v4^2-v1^2)
　(1/2)・ρ(v4^2-v1^2) = (p3-p2) = ρv2(v4-v1)
　(1/2)・ρ(v4+v1)(v4-v1) = ρv2(v4-v1)
　v2 = (v1+v2)/2
を出せというのかな。
どうも、これっぽいですね、問題が要求している答えは。

回答No.2

NemurinekoNya

あっ、ゴメン。
最後の結論の部分は、
　【誤】　v2 = (v1+v2)/2
　【正】　v2 = (v1+v4)/2
ですね。