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自然対数の公式
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テイラー級数 LN(1+x) = x-x^2+… の x^2 以下を無視できれば、LN(x)≒ x-1 でしょうね。 x^1 の範囲で近似範囲をひろげるには? Pade 近似 e^x≒(2+x)/(2-x) を借用した LN(x)≒ 2*(x-1)/(x+1) が実務でも使用されてます。 数値例 テイラー: LN(1.4)≒ 0.400 Pade : LN(1.4)≒ 0.333 --------------------------- cf. : LN(1.4)≒ 0.336
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- 178-tall
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逆の憶測をすれば、 LN | (t-a-ta)/a|≒ t(1-1/a) なら成立しそう…ということ。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>具体的には、R=γln|t-a-ta|を t<<a<<1 の条件で >R=γt(1-1/a)と近似する問題です。たぶん、tは変数で、aは定数です。 つまり、t≪a≪1 のとき、 LN|t-a-ta|≒t(1-1/a) ということ? s = t(1-1/a) として整形すれば、 LN|a*(s+1)| ≒ s …(S) になる。 もし 0 < t≪a≪1 なら、s < 0 。 また、 LN|a*(s+1)| = LN(a) + LN|(s+1)| ≒ s 左辺には {a, s} が現れるが、右辺は {s} のみ。 ほかに何か条件でもないと、成立ちそうありません。
「t<<a<<1」というのが-∞<t<a<1という意味 でも0<t<a<1でもない「何か」なのかよくわか りませんが・・・ とにかくa≠0とみて t-a-ta=-a(1+t(1-1/a)) と変形してx=t(1-1/a)とおき、符号の扱いに 注意しつつもし|x|<1がいえれば#1のリンク先 の式を使ってみるといいことがありそうです。
- htms42
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x<<1のとき ln(1+x)≒x 物理でも化学でもよく使います。
「x << 1」というのがよくわかりませんが x<1ならx-1<0となって左辺は実数になりません。 超能力を発揮してたぶん↓みたいなことが聞き たいのではないかと推測します。 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/maclaurin/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/maclaurin/maclaurin_logx.html
お礼
解決しました。 ありがとうございました。
補足
すいません。 具体的には、R=γln|t-a-ta|を t<<a<<1 の条件で R=γt(1-1/a)と近似する問題です。たぶん、tは変数で、aは定数です。
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