- ベストアンサー
一つの前提から２つの結果は導けるのか
alchoolの回答
- alchool
- ベストアンサー率52% (18/34)
前提 (1) a^1 = a (2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数 ここに書かれている前提を全面的に受け入れるなら 前提(2)において「pは正の整数」であるからa^0に関しては前提を適用できません。 よってa^0=0という結果を導くことはできません。 同様に a^0=1が成り立つという主張もできません。 与えられた前提(2)にはそもそもa^0という値自体に言及する資格が無いからです。 ここでa^0=0という結果もa^0=1という結果も導かれません。 またa^1 = aなる前提条件にa^1=0が成り立つと言う主張を組み合わせると a=0のみが許されます。aを他の実数に広げることは許されません。 よってaを実数としてa^0=0が常に成り立つという主張はできません。 *勿論前提(1)(2)自体ははあらゆる実数aそれぞれで成立します。 今前提を書き換えてみます。 (1) a^1 = a (2) a^(p+1) = a^p * a ただし p はゼロもしくは正の整数 a=0である時、0^1=0という定義が前提(1)を満たします。 ここに前提(2)を適用すると0^1=0^0*0という関係式になり 前提(1)と比べると「0＾0はどんな値でも良い（不定）」という結果が導かれます。 つまり0＾0は0でも1でも2でも-100として定義してもよいという事になります。 よってゼロのゼロ乗は「定義しない（できないわけではない）」という事なっています。 これは0/0が定義されないことと同じことです。 2の0乗はどのように定義すべきか→演算の規則性から1と定めるべき 0の0乗はどのように定義すべきか→演算の規則性からはどのようにも必然的には定まらない これが数学的に正しいとされているものです。 「ゼロのゼロ乗」で検索してみてください。 矛盾の意味を理解しているでしょうか？ 「同時に成立し得ない2つの条件」です。 0＾0の定義を0や1や2や-100に一度に定義しようとすればそれは矛盾です。 方程式の解x=1,x=2を「同時に」認めようとすればそれは矛盾です。 しかし解が定まっていない事、複数存在することそのものを矛盾とは呼びません。 ここで逆質問ですが 上記の例が何故「ある一つの前提から矛盾した2つの結果を導いた」ことになるのでしょうか？ （そもそもひとつの前提ではないようですが・・・） この疑問は具体的に上記の例のどの部分を指しているのでしょうか。 実際にその別の質問のURLを貼ってもらえませんか？
関連するQ&A
- 【高次方程式の解法】
実数の間の等式(5√2+7の3乗根)-(5√2-7の3乗根)=2…(*) (1)係数が整数であるｘの3次方程式で、ｘ=(5√2+7の3乗根)-(5√2-7の3乗根)が 解になるものを１つ求めよ。 (2)(1)で求めた3次方程式を解くことにより、等式(*)を証明せよ。 (1)はx^3してみたんですが…いまいち分かりません (2)はノータッチです…。 数学が得意な方、お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- これは背理法になるのでしょうか
お世話になっております。 数学にお詳しい方には、「些細なこと」と捉えられるかもしれませんが質問させて下さい。 命題「a＞0,b＞0…P⇔a+b＞0,ab＞0…Q」が成立つことを示せ。 という導入部分に登場するようなごくごく基本的な証明問題があります。 証明 「P⇒Q」を示す。これは明らかに成立つ。 「Q⇒P」を示す。 ab＞0⇒a＞0かつb＞0…(1) または a＜0かつb＜0…(2)。 (1)のとき、辺辺加えてa+b＞0。(2)のとき、辺辺加えてa+b＜0、これは前提と矛盾する。よって、a+b＞0,ab＞0ならばa＞0,b＞0は成立つ。 以上より、与えられた命題は成立つ。 ここで質問です。この手の証明問題では、上の「Q⇒P」を示す時のように、矛盾を導いて矛盾しない場合の条件から成立つことをしめすことが多い(よう)ですが、前提に矛盾する結果を条件から導いて、その条件の否定をとるような証明方法は背理法ですよね？上記のようなのも背理法と言えるのでしょうか？ 因みに今教科書の内容を一通り読み返しております。同じ教科書内に背理法についての説明もありますが、それはもっと後です。 つまらない質問と思わずにそっとお答え下されば幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平方数でない整数の平方根は無理数であることの証明
すみません。高齢者なので使用する文字はすべて正の整数とします。 整数の平方根で整数になるのは1,4,9,16のような平方数だけです。例えば5の平方根を考えた場合、 4の平方根は2、 9の平方根は3ですから、5の平方根は2と3の間の数となり絶対に整数にはなりません。以上は単なる確認です。 そこで平方数ではない整数をaとします。これの平方根を√aと表記します。確認通り√aは整数にはなりません。この非平方数の平方根が分数で表現できるかどうかが問題です。 √a=n/mと分数で表現できるとします。ここでｎとｍは互いに素であるとし、当然ｍ≠1です。 両辺を2乗すると a＝ｎ2/ｍ2 となります。ここでaは整数です。ｎ2とｍ2にも共通の約数はないので、ｎ2/ｍ2は整数にはなりません。すると左辺は整数、右辺は小数（小数点以下が0ではない純粋の小数）になるのでこれは矛盾です。従って平方数ではない整数の平方根は全て無理数である。 質問は、こんなに簡単な証明でいいのだろうか？基本的なところで考え方に穴があるのではないだろうか？ということです。ご教示願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学入試レベルの問題です。(多項式)
１(１)整数係数のn次式 f(X)=αnX^n+......+α₁X＋α₀ が 有理根Ｘ=(q/p) (p、qは互いに素な整数、p＞０)をもつなら 「pはαnの約数」(1) であり 「qはα₀の約数」(2) であることを証明せよ。 (２)前問を利用して√2が無理数であることを証明せよ。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 過程を詳しくお願いします(。。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の証明問題
数学の論証問題の解き方を教えてください。『次のような条件を満たす集合Aがある。 (i)Aの要素は正の実数である。 (ii)Aは少なくとも2つの要素をもつ。 (iii)p∈A、q∈Aでp≠qならば、 p/q∈Aである。 このとき、次の(1)、(2)の問いに答えるという問題です。 (1)Aは無数に多くの要素をもつことを示す。 (2)1 ∈A、2 ∈Aであるとき、全ての整数nに対して、2^n ∈Aであることを示す。』 以下に自分の解いた過程を書いておきます。 間違っている箇所などのご指摘をお願いします。 (1)Aの要素の個数が有限個であると仮定する。この時、最大の要素をa、最小の要素をbとする。a>1のとき、b/a∈Aなのでbより小さい要素がある。a<1のとき、b/a∈Aなのでaより大きい要素がある。これは最大をa、最小をbとしたことと矛盾する。したがって、Aは無数に多くに要素を持つ。(証明終) (2)数学的帰納法で示す。n=1のとき、2∈Aで成立する。n=kのときに成立すると仮定すると、2^k∈A、2∈Aより、2^k/2=2^(k－1)∈A k→∞で考えていいので全ての整数nについて2^n∈Aが成立する。(証明終)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- にゃんこ先生の自作問題、4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件
にゃんこ先生といいます。 4次方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 には、難しいにゃがらも公式があり、その過程では3次分解方程式にゃどというものを解く必要があり、さらにそのために、2次方程式を解く必要があります。 結局、公式は、平方根と３乗根と四則を使ってかけることが知られています。 そこで、4次方程式が平方根（二重根号であってもよい）と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。 同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。 このとき、4次方程式は、p,q,r,sをもちいて、 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)^2+r(x^2+px+q)+s=0 と書けるはずで、両辺の3次の係数を比べることで、p=a/2とにゃらにゃければいけにゃいことがすぐに分かり、他の係数を比べて、 2q+r=b-a^2/4 2q+r=2c/a q^2+rq+s=d とにゃります。 よって、求めたい条件は、b-a^2/4=2c/a とにゃりました。 このとき、qを勝手に決めれば、それによってr,sが定まります。 今度は、方程式でにゃく、関数を考えます。 4次関数 y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e が2つの2次関数の合成で書けるときのa,b,c,d,eの条件はにゃんでしょうか？ また、どのようにかけるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
> よってa^0=0という結果を導くことはできません。 ここはその通りです。 > よってaを実数としてa^0=0が常に成り立つという主張はできません。 これは、私の記述ミス(a=0でした）によって導かれてますが、a=0という限定があっても、主張はできませんね。 > 方程式の解x=1,x=2を「同時に」認めようとすればそれは矛盾です。 認めるのに時間は関係ありませんから、「共に」がしっくり来ます。 通常行われる「解はx=1」というのは、「x=1以外は方程式を満たさない」という意味を含むように思います。 解が定まらないのに「解はx=1」と答えるとバツを貰うのがその証拠です。 答えるのが解の１つという前提があれば、その限りではありませんが。 > しかし解が定まっていない事、複数存在することそのものを矛盾とは呼びません。 解が定まっていないと答えた後で、解は０だと答えても矛盾ではありませんか？ > ここで逆質問ですが 質問は消えてしまいましたから、示すことはできません。 回答ありがとうございました。