一つの前提から２つの結果は導けるのか

質問

• a^0 を前提として求めることはできないと思います。しかし、他の人は a^0=0 とすることも正しいと主張しています。どちらが数学的に正しいのでしょうか？
• ２次方程式の根が２つあるように、ある一つの前提から矛盾する２つの結果が導けることもあります。しかし、矛盾する結果を導く過程の正当性に疑問が生じます。
• 質問文章で議論された例では、a^0 の値について意見が分かれています。数学的な正当性はどちらにあるのか、明確には決まっていません。

回答No.35

alchool

＜＜よって、そこに書かれた項目を基にして、定義できない理由だと思うことはできません。

何か誤解をしているようですが、少なくとも私は定義できないといっていません。
定義されるべきではないと言っているんです。違いがわかりませんか？
全ての要請に対して正確であることはできない、つまりあちらを立てればこちらが立たず
なのであるから、「0^0=1という定義しか認めない」という事を否定しているんです。
定義できないと言っているわけではなく、状況に応じてどれでも定義されうる、
「ある一つの定義だけに確定することはできない」と言っているんです。
数学では、0^0=1とみなせる根拠を沢山持ってきて多数決でそれに決めるということはあり得ません。
すべての状況に対して「一貫して」0^0=1であるという同意が得られなければ、それは共通の理解として得られないんです。
それが数学的な厳密性です。
定まってないと気持ち悪いから、最も説得力のある方法で定義しておこうなんて事はしちゃいけないんです。
wikiに有るように「視野を狭めて」二項定理の場合0^0＝1だとしておこうという事はできるでしょうが、
他の分野、極限の理論などで0＾0＝1などと定義されていてはそれは理屈に合いません。
貴方が例えば、「x^yなる関数が経路によっては、x=0,y=0の極限で1にならない」という事を無視して
視野を狭めて特殊な場合において0＾0＝1と置くのであればそれは構いません。
しかしそれは数学全体の共通の定義とはなりえません。

＜＜０以外の可能性を排除してるんだと受け取っていました。

すみませんが、何故そのように受け取ることが可能であったのかが理解できません。
「これは僕の猫です」といったら「そうかボクノネコという名前なのか」という反応が帰ってくるくらいに理解不能です。
わざとやってるんじゃなくて、本当にここに来るまでわからなかったんですか？

＜＜その部分の記憶を蘇らせたとしても

僕はここに書いてある質問文の内容だけで判断しているつもりです。
質問文に書いてあるだけの内容と、お礼欄の回答に一貫性が見られないのです。

＜＜指数法則が成立しない理由が無いのだから、成立してると考えるのが自然です。
＜＜…という考え方もあります。

貴方の頭のなかだけで回っている条件が多すぎます。
「前提を提示する」「そこから導かれるかどうか」という話をしていたのに
まず結果0^-1=0を提示して、それから後だしで「私が考えた自然な前提条件」をあたかも当然のように出してくるのは
論外であるというのが一点。
最初に立場をはっきりとさせる。その上で結論を導くということができないのでしょうか。
口下手な子供から「どうしたの？」と理由を聞き出しているわけではないのですから。
もう一点はそもそも指数法則が成立すると何故0^-1=0なるのです？
「貴方の考えている指数法則」を数式で表現して貰えませんか？

＜＜「不定」に０を掛けると、何になりますか？

不定とは∞を含むのですよ？既に書いたはずです。
∞に0をかけると何になりますか？0が勝つのですか？
そのような理解で大丈夫ですか？
まさか「0*0/0は0になり、0/0/0は∞になるべきだ」という様な理解なのですか？
それで「複素数の正則性を理解している」と発言しているのですか？

＜＜それらは、いずれにも資格はありません。
＜＜定義されるかどうかのみで資格は決定します。

それは単に貴方の強迫観念でしかありませんし、ましてやそれを数学的な理由とは呼びません。
1＝2の証明、についてはある程度理解されているようですから書きますが
定義されないことが問題で有るのならまず、貴方の方法で0/0を定義してください。
勿論0/0＝1とすると、1＝2の証明で見たように方程式の信頼性が崩壊します。
a=bの仮定のもとで、(a-b)/(a-b)を1とみなしていること、つまり0/0＝1の定義が
矛盾を招いているのです。

そりゃ前提を設けて定めるだけなら簡単でしょう。
しかしその関係をその後の計算で使って矛盾が生じるならばそれは定義しちゃだめなんです。
だから普通は0除算の場合は、ケースバイケース、つまり場合分けをして考えなければならないことになっています。
0＾0=1の定義がいかなる場合にも矛盾を生じさせないとう数学的な根拠が有るのなら良いですが。
そうでないなら、単に特定の視野の狭い場所で成り立つ特殊な定義であり、いつ矛盾が起こるともわからず
ビクビクしながら0^0=1という定義を使わなければならないことになります。
貴方の書き方を見ていると、まったく「０」や「∞」への配慮がありません。
「ただの実数の一つだ」という感じです。
記号にしてしまえば見えにくくなるだけで、そこには矛盾を生じるだけの可能性を持っているんです。
それを考慮しないのであれば数学的にはそれは「考えなし」の危うい方法論です。

＜＜象が泳いでるのを日常的に見てる人に、いかに泳ぎが困難か説明されて、
＜＜それがまったく泳げない理由に感じられないのと似ているかも。

数学の世界では、泳げない象が世界に一匹でもいれば「象は泳げる」という命題は偽なのです。
「私が今まで見てきた象は全て泳げた」なら真である事ができます。

貴方がこれから0^0をどんな前提で定義したところで
「私の象は泳げます」と言っていることにしか成らず「象は泳げる」という命題について言及できません。
その命題を否定するためには数学者は「泳げない象を」一匹連れてくるだけでいいんです。
既に述べましたが、数学で何かを言い切るためには完全な一貫性が必要なんです。
一貫性から外れたものは必ず除外され、他のものとは別の扱いを受けるのです。
（困難かどうかなどというのは、数学の方向性としては見当違いな感覚です。）
「数学的な理由」というものを根本的に履き違えているように思います。

お礼

> 何か誤解をしているようですが、少なくとも私は定義できないといっていません。
> 定義されるべきではないと言っているんです。違いがわかりませんか？

だから、「定義できない理由ではない」という理解で一致しますよね。

> 全ての要請に対して正確であることはできない、つまりあちらを立てればこちらが立たず

要請されてるのはただ一つ、「べき乗の定義(1)(2)からa^0は定義できない」です。
１とか０が要請されているのではありません。よってあちらもこちらもありません。

> 「ある一つの定義だけに確定することはできない」と言っているんです。

示されているのは(1)(2)だけの場合ですから、その限りにおいては同意します。

> wikiに有るように「視野を狭めて」二項定理の場合0^0＝1だとしておこうという事はできるでしょうが、
> 他の分野、極限の理論などで0＾0＝1などと定義されていてはそれは理屈に合いません。

二項定理は視野を狭めたものではありません。
ちゃんと、極限が定義できる分野です。

> わざとやってるんじゃなくて、本当にここに来るまでわからなかったんですか？

誓って、その通りです。

> 貴方の頭のなかだけで回っている条件が多すぎます。

あまり、話をそちらに向けちゃうと、とんでもない方向に行っちゃうので避けてた部分もあります。
それを理由にしても、首尾一貫した話をしてないのは、反省しています。

> 「貴方の考えている指数法則」を数式で表現して貰えませんか？

a^(p+q)=a^p * a^q (a=0, p,q∈Z)

> 不定とは∞を含むのですよ？既に書いたはずです。

0^0 のことも「不定」としてたから、その時(2)は
0^1=0^0*0=0
でなければならないから、「不定」＊０をどう処理してるか興味があったんです。

> 定義されないことが問題で有るのならまず、貴方の方法で0/0を定義してください。

定義の必要が無いようにするのが普通ではありませんか？
私の方法にその定義を出すつもりはありません。

> いつ矛盾が起こるともわからず

それは通常の数学でも同じでしょう。
にも関わらず、ビクビクなどしてない筈です。

> 「ただの実数の一つだ」という感じです。

そう見なした場合にどうなるかはある程度やりました。
満足な結果は得られないと見きれてからは、そういう仮定はしていません。

> 数学の世界では、泳げない象が世界に一匹でもいれば「象は泳げる」という命題は偽なのです。

数学の世界では、「象」「一匹」を定義できないでしょうね。

> その命題を否定するためには数学者は「泳げない象を」一匹連れてくるだけでいいんです。

その一匹が自分では探せないんだな。
少なくともwikiの内容は、それではありません。

回答ありがとうございました。