線形代数学の問題について

質問

W1=<(1 1 3 0),(1 2 0 -1),(1 3 -3 -1)>
W2=<(-2 -4 1 -1),(-1 -4 7 0)>

の時
W1＋W2の基底と次元
W1∧W2の基底と次元の求め方を教えて下さい

回答No.2

ask-it-aurora

回答No.1の方法には汎用性が無いように感じられるので別解を．（別にやり方が間違っているとか言っているわけではありません，念の為．もっと機械的に済ませたかっただけです．）

v1 = (1 1 3 0)T,
v2 = (1 2 0 -1)T,
v3 = (1 3 -3 -1)T,
v4 = (-2 -4 1 -1)T,
v5 = (-1 -4 7 0)T
とし(Tは転置)，M = (v1, v2, v3, v4, v5)とおきます．この行列の階数（ランク）がW1 + W2の次元になります．実際に計算するには消去法をやればよいでしょう．次元が4とわかるはずです．またこの方法で消去した後に「左側」に並んだ列ベクトルがこの空間の基底とわかります．

さてdim(W1 + W2) = 4とわかったので次元公式から
dim(W1 ∩ W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 + W2) = 3 + 2 - 4 = 1
です．このあとW1 ∩ W2の基底を（試行錯誤によらずに）求めるうまい方法が思いつかなかったので回答を控えていたのですが，前半部分だけでも参考になればと思い回答しておきます．

回答No.1

muturajcp

u1=(1;1;3;0)
u2=(1;2;0;-1)
u3=(1;3;-3;-1)
v1=(-2;-4;1;-1)
v2=(-1;-4;7;0)
A=(u1,u2,u3,v1)
とすると
|A|
=
|1, 1, 1, -2|
|1, 2, 3, -4|
|3, 0, -3, 1|
|0, -1, -1, -1|
=-1≠0
だからAの逆行列A^{-1}が存在する
R^4の任意の要素yに対して
x=A^{-1}y=(x1;x2;x3;x4)
が存在するから
y=Ax=x1u1+x2u2+x3u3+x4v1
∴W1+W2=R^4

∴W1+W2の基底は
<u1,u2,u3,v1>=
<(1;1;3;0),(1;2;0;-1),(1;3;-3;-1),(-2;-4;1;-1)>
で次元は
4

y=v2=(-1;-4;7;0)
とすると
x=A^{-1}v2=(2;-1;0;1)
v2=2u1-u2+v1
v2-v1=2u1-u2=(1;0;6;1)

∴W1∩W2の基底は
<(1;0;6;1)>
で次元は
1