2002年一橋大数学

質問

数学の質問です。

0<θ<π/2において、π/cos^2θ＋π/sinθcos^2θの最小値を求めたいのですが、商の微分を使わずに求めることはできますか？
できるならば解答を教えてほしいです。

2002年一橋大の問題なので文系の問題ですが、模範解答とは違い角度をθと置いたので商の微分が必要かもしれません。できれば商の微分はしたくないのですが…

回答よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

問題の式に対する質問です。

>π/cos^2θ＋π/sinθcos^2θ
これは

(π/cos^2(θ))＋(π/sinθ)cos^2(θ)
(π/cos^2(θ))＋(π/(sinθcos^2(θ)))
その他

どの式の意味ですか？

後者として回答します。
f(θ)=(π/cos^2(θ))＋(π/(sinθcos^2(θ)))
=(π/sinθ)(1+sinθ)/(cos^2(θ))
=(π/sinθ)(1+sinθ)/(1-sin^2(θ))
=(π/sinθ)/(1-sinθ)
=π/(sinθ-sin^2(θ))
=π/((1/4)-(sinθ-(1/2))^2)

ここで
0<θ<π/2より
0<sinθ<1
-1/2<sinθ-(1/2)<1/2
0≦|sinθ-(1/2)|<1/2 (等号はsinθ=1/2の時すなわちθ=π/6の時成立)
0≦(sinθ-(1/2))^2<1/4
0≧-(sinθ-(1/2))^2>-1/4
1/4≧(1/4)-(sinθ-(1/2))^2>0
4≦1/((1/4)-(sinθ-(1/2))^2)
4π≦π/((1/4)-(sinθ-(1/2))^2)=f(θ)

故に最小値はθ=π/6のとき f(π/6)=4π

お礼

ありがとうこざいました。よく分かりました。
式の意味はあなたの解釈通りです。以後気をつけます。