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数学的帰納法について質問です
a(1)=1,a(n+1)=√(2+a(n))の数列において、n=kの時にa(k+1)<a(k+2)を証明したいのですが,√(2+a(k))<√(2+a(k+1))であることをどう証明したらよいでしょうか？またこの数列は2に収束しますが、√(2+a(k))<2であることをどう証明したらよいでしょうか？
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- stomachman
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補足をお願いしたいな。 「1≦a(k)＜a(k+1)＜2 ならば 1≦a(k+1)＜a(k+2)＜2」ということを証明するだけの話だ、ということはお分かりなんでしょうか？ 「1≦a(k+1)＜2 ならば a(k+1)＜√(2+a(k+1))＜2」が言えるということはほとんど自明かと思うんですが、どこが分からんのでしょ？ x=a(k+1)と置き換えてみれば「1≦x＜2 ならば x＜√(2+x)＜2」という簡単な不等式の問題です。 もしかして、「x＜√(2+x)＜2」の平方根を取り除けなくて躓いているとか？
- naniwacchi
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単調増加を示す方法の一つとして、比を使う方法もありますね。 式でいえば、a(n+1)/a(n)≧ 1であることを示します。 2に収束することは、a(n)と 2との差がどうなるかを考えればよいです。
- Tacosan
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関数 f(x) = √(2+x) が x に関し単調増加であることを示す.
- kabaokaba
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解答としては順序が逆で (1) a(n)<2 を示せ (2) {a(n)}は単調増加であることを示せ というのが楽 証明するには (1) a(1)=1<2なのでOK a(k)<2と仮定する a(k+1)^2 = 2 + a(k) < 4 a(k+1)>0なので a(k+1)<2 これがわかれば (2) a(n+1)^2-a(n)^2 = 2+a(n) -a(n)^2 = -(a(n)^2 - a(n) -2) = -(a(n)-2)(a(n)+1) > 0 （(1)よりa(n)<2）
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