逆関数の置換積分の原理をもう少し深く理解したいです
逆関数の置換積分が根本的に分からないのです。（置換積分の考え方についての質問です。）
「πx^2sin(πx^2)の1≦x≦0までの区間とx軸に囲まれた平面をy軸周りに回転させて出来る立体の体積を求めよ」という問題でそれに気づかされました。
有名問題そうなのでグラフの様子や答え自体は周知という前提で話を進めます。
この問題のある解き方ではまず0≦x≦1なる極点のx座標をα(y座標をy1)とします。
そしてαを境目として、問題の関数を２つの逆関数x=g1(y)(0≦x≦α)、x=g2(y)(α≦x≦1)で表現すると、その回転体の体積は∫[0,y1]π(g2(y))^2dy-∫[0,y1]π(g1(y))^2dyとなり
この式についてy=f(x)とおくと∫[1,α]πx^2f'(x)dx-∫[0,α]πx^2f'(x)dxとなるということだったと思います。あとはごちゃごちゃ計算すれば値πが求まるわけです。
y=f(x)と置いた後の積分の式はdyの部分がf'(x)dxになっていて、これは置換積分の公式y=f(x)dx⇔y=f(g(t))dx/dt*dtについて、tをyと見て適用した結果が素直に反映されているように見えます。
疑問なのはg1,2(x)^2がx^2になっているところで、なんでこうなるのかちゃんとは理解できていないようなのです。
x=g(y)のような式をy=f(x)でおくのだからx=g(f(x))ということになるでしょう。これは公式のf(g(t))に対応すると思います。公式のこの部分は、tで置換積分すると決めたらf(x)の変数xが全てtで表されるようにしろという意味で私は理解しています。
たとえばx(x-2)^3のような式を積分するならt=x-2と置くでしょうが、そのとき式中の(x-2)は宣言した通り一文字のtで置き換えるだけですしt=x-2はxについて解けますからそれを代入することによって式はtだけの式で表されるということになります。
ですがこれと違って、y=f(x)でおくという場合代入という考え方で式の同値変形ができるわけではありませんよね。公式を適用する中でg(f(x))=xというのはどうやって導出するものなのかが分からないのです。
考えてみたら、逆関数として表現したものを逆関数で置きなおすのだからx=g(y)という等式で結ばれたxでそれは表現されるというのは「なんとなく」そんな気がしますし、これに限っては「逆関数の逆関数はx」と暗記することで済むと思います。
しかし数学なのだから考え方が正しければ途中過程によらず正しい答えにたどり着くという前提のもとで、置換積分の際の置き方というのは自由なはずですから、たとえばy=f(x)ではなくy=2f(x)として置換積分したらどういう流れで元の結果に行き着くだろうと考えたのですが、全くわからなくなりました。
y=2f(x)ですからdy=2'f(x)dxなのは当然でしょう。するとg(2f(x))は2'f(x)dyの２が打ち消されるような式でなければならないわけです。置き換える前の式は∫[0,y1]π(g2(y))^2dyのように式が二乗されていますから求める式はg(2f(x))はx/√(2)ということになる、のでしょうか？いよいよ分からなくなるわけです。x/√2という式でたとえ合っていたとしても、また別の、答えがあらかじめわかっておらず、こうしたつじつま合わせが使えない別の問題は解くことができないのです。
長くなりましたが、なぜ最初の問題について積分の中身をg(y)^2がx^2となるのか、y=2f(x)のように置いた場合にも応用が利くような考え方でご解説いただきたいと思います。よろしくお願いします。
補足
置換の仕方がわからないのです。 よかったら、解説お願いします。