機械力学、バネ、ダッシュポッドの問題について

質問

この画像の問題がどうしても解けません。
どなたか教えていただけませんか？

回答No.2

SKJAXN

No.1と同じ者です。
(8)について文章にミスがありましたので、下記のとおり変更して下さい。

(8) √(C1^2+C2^2)=f0/√((w0^2-w^2)^2+(2*u0*w)^2)≡G(w) となり、
w=√(w0^2-2*u0^2) のとき、G(w)が最大となります。
しかし、w=wd=√(w0^2-u0^2) では(7)同様に単なる(式10)の
θ[t]=A*exp[-u0*t]*(cos[√(w0^2-u0^2)*t]+sin[√(w0^2-u0^2)*t])+C1*cos[wd*t]+C2*sin[wd*t]

の運動を行うだけなので、振幅の議論をする意味がありません。出題者のミスではないでしょうか？　確認してみて下さい。

回答No.1

SKJAXN

(1) まず「貨車が存在しない状況でバネが自然長にあるときの支点Oの高さ」に対し、「貨車が存在することによりる支点Oの高さ」との差x0を求めると、
m*g=2*k*x0 ⇔ x0=m*g/(2*k)

車台がθだけ傾くことにより、「車台右側のバネ、ダンパの作用点の高さ」に対し、「貨車が存在しない状況でバネが自然長にあるときの支点Oの高さ」との差x1を求めると、
x1=a*sin[θ]-x0=a*sin[θ]-m*g/(2*k) →(式1)（添付された映像の文字が潰れているため、aと判断しました）

これが、車台右側のバネの変位です。
また「車台左側のバネ、ダンパの作用点の高さ」に対し、「貨車が存在しない状況でバネが自然長にあるときの支点Oの高さ」との差x2を求めると、
x2=-a*sin[θ]-m*g/(2*k)=-a*sin[θ]-m*g/(2*k) →(式2)

これが、車台左側のバネの変位です。
よって、車台右側に作用するバネの復元力Fk1は、上向きを正とすると、
Fk1=-k*x1=-k*(a*sin[θ]-m*g/(2*k))=-k*a*sin[θ]+m*g/2

バネの復元力の支点O回りのモーメントNk1は、図の紙面の裏から表への向きを正とすると、
Nk1=a*Fk1*sin[π/2+θ]=-k*a^2*sin[θ]*cos[θ]+a*m*g/2*cos[θ]

車台左側に作用するバネの復元力Fk2は、
Fk2=-k*x2=k*(a*sin[θ]+x0)=k*a*sin[θ]+m*g/2

支点O回りのモーメントNk2は、
Nk2=-a*Fk2*sin[π/2-θ]=-k*a^2*sin[θ]*cos[θ]-a*m*g/2*cos[θ]

以上より、バネの合成復元力Fkは、
Fk=Fk1+Fk2=m*g;

支点O回りの合成モーメントNkは、
Nk=Nk1+Nk2=-k*a^2*sin[2*θ];

(2) (式1)を微分すると、
dx1/dt=a*cos[θ]*(dθ/dt)

(式2)を微分すると、
dx2/dt=-a*cos[θ]*(dθ/dt)

よって、車台右側に作用するダッシュポッドの復元力Fc1は、上向きを正とすると、
Fc1=-c*(dx1/dt)=-c*a*cos[θ]*(dθ/dt)

ダッシュポッドの復元力の支点O回りのモーメントNc1は、図の紙面の裏から表への向きを正とすると、
Nc1=a*Fc1*sin[π/2+θ]=-c*a^2*cos[θ]*(dθ/dt)*cos[θ]

車台左側に作用するダッシュポッドの復元力Fc2は、
Fc2=-c*(dx2/dt)=c*a*cos[θ]*(dθ/dt)

支点O回りのモーメントNc2は、
Nc2=-a*Fc2*sin[π/2-θ]=-c*a^2*cos[θ]*(dθ/dt)*cos[θ]

以上より、ダッシュポッドの合成復元力Fcは、
Fc=Fc1+Fc2=0;

支点O回りの合成モーメントNcは、
Nc=Nc1+Nc2=-c*a^2*(cos[2*θ]+1)*(dθ/dt);

(3) 車台がθだけ傾くことにより、貨車が鉛直線に対してθだけ傾くため、重力の支点O回りのモーメントNgは、図の紙面の裏から表への向きを正とすると、
Ng=h*m*g*sin[π-θ]=h*m*g*sin[θ];

(4) 貨車の支点O回りの慣性モーメントIは、
I=m*h^2

運動方程式は、
I*(d2θ/dt2)=Nk+Nc+Ng ⇔ m*h^2*(d2θ/dt2)=-k*a^2*sin[2*θ]-c*a^2*(cos[2*θ]+1)*(dθ/dt)+h*m*g*sin[θ]; →(式3)

(5) この系が振動するためには、sin[2*θ]=2*θ、cos[2*θ]=1と近似できる範囲であることが必要であるため、(式3)は
m*h^2*(d2θ/dt2)=-(k*a^2-h*m*g*2)*θ-c*a^2*2*(dθ/dt) ⇔ d2θ/dt2+2*c*a^2/(m*h^2)*(dθ/dt)+(k*a^2-2*h*m*g)/(m*h^2)*θ=0 →(式4)

ここで、u0=c*a^2/(m*h^2)、w0^2=(k*a^2-2*h*m*g)/(m*h^2) とおくと(式4)は、
d2θ/dt2+2*u0*(dθ/dt)+w0^2*θ=0 →(式5)

(式5)は同時線形微分方程式であることから、θ[t]=A*exp[B*t] とおいて代入すると（Aは初期振幅）、
B^2*exp[Bt]+2*u0*B*exp[Bt]+w0^2*exp[Bt]=0 ⇔ B^2+2*u0*B+w0^2=0 ⇔ B=-u0±√(u0^2-w0^2) →(式6)

ここでu0^2-w0^2≧0である場合、ダンピングが強すぎることから振動しないため、u0^2-w0^2<0 であることが必要です。よって(式6)は、
B=-u0±i*√(w0^2-u0^2)

すなわち、
θ[t]=A*exp[-u0*t]*(cos[√(w0^2-u0^2)*t]+sin[√(w0^2-u0^2)*t]) →(式7)
よって求める固有振動数は、
wd=√(w0^2-u0^2);（w0、u0は置き換えているため、戻すことを忘れないで下さい）

(6) (式3)にモーメント F*sin[w*t] が加わるだけです（添付された映像の文字が潰れているため、モーメントですがFと判断しました）。よって、
m*h^2*(d2θ/dt2)=-k*a^2*sin[2*θ]-c*a^2*(cos[2*θ]+1)*(dθ/dt)+h*m*g*sin[θ]+F*sin[w*t]; →(式8)

(7) 添付された映像の文字が潰れているため、θを求めると判断しました。(式8)を整理すると、
d2θ/dt2+2*c*a^2/(m*h^2)*(dθ/dt)+(k*a^2-2*h*m*g)/(m*h^2)*θ=F/(m*h^2)*sin[w*t]

さらに、f0=F/(m*h^2)とおいて(5)と同じ要領で整理すると
d2θ/dt2+2*u0*(dθ/dt)+w0^2*θ=f0*sin[w*t] →(式9)

(式9)は非同時線形微分方程式であることから、θ[t]の特解を
θ[t]=C1*cos[w*t]+C2*sin[w*t] →(式10)
とおくと、
dθ/dt=-C1*w*sin[w*t]+C2*w*cos[w*t]
d2θ/dt2=-C1*w^2*cos[w*t]-C2*w^2*sin[w*t] であり、(式9)に代入すると、
(-C1*w^2+2*u0*C2*w+w0^2*C1)*cos[w*t]+(-C2*w^2-2*u0*C1*w+w0^2*C2)*sin[w*t])=f0*sin[w*t]

定数を比較して、(w0^2-w^2)*C1+2*u0*w*C2=0、-2*u0*w*C1+(w0^2-w^2)*C2=f0
これよりC1、C2を求めると、
C1=-2*u0*w*f0/((w0^2-w^2)^2+(2*u0*w)^2)、C2=(w0^2-w^2)*f0/((w0^2-w^2)^2+(2*u0*w)^2)

この横風による強制振動の解は、(式7)と(式10)の和で表され、
θ[t]=A*exp[-u0*t]*(cos[√(w0^2-u0^2)*t]+sin[√(w0^2-u0^2)*t])+C1*cos[w*t]+C2*sin[w*t] →(式10)

t→∞ では、θ[t]=C1*cos[w*t]+C2*sin[w*t];（w0、u0、f0、C1、C2を戻すことを忘れないで下さい）

(8) √(C1^2+C2^2)=f0/√((w0^2-w^2)^2+(2*u0*w)^2) となり、
分母=0 ⇔ w=√(w0^2-2*u0^2) のケースであれば、共振現象が発生します。
しかし、w=wd=√(w0^2-u0^2) では(7)同様に単なる(式10)の
θ[t]=A*exp[-u0*t]*(cos[√(w0^2-u0^2)*t]+sin[√(w0^2-u0^2)*t])+C1*cos[wd*t]+C2*sin[wd*t]

の運動を行うだけなんですが、出題者のミスではないでしょうか？　確認してみて下さい。
あと、添付された映像の文字が潰れているため、「振幅○○X」の○○が読み取れませんでした。