頂角が０に近づいていくときの正多角形の面積について

質問

別の質問から派生した疑問なのですが、改めて質問させていただきます。正多角形をいわゆる一筆書き（仮に右回りとします）。正多角形の頂角がπに近くづいていくと円になることは理解できますが、逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが、頂角が０に近づいた極限の正多角形の面積は０になるのでしょうか、あるいはπになるのでしょうか。星型の面積は紙に書いて切り抜いた時の図形とした場合を想像しています。頂角が小さくなると、一筆書きで真っ黒になってしますので、頂角がπになる時の円とちがって面積のイメージが得られないでいます。よろしくお願い申し上げます。

回答No.5

sunflower-san

以下では、半径1の円に内接するような一筆書き(星型)正多角形を考えるものとします。

結論から言うと、頂角を小さくする、というだけではご質問の面積は一定値に収束しません。
しかし、頂角を小さくするとき、適当に条件をつけて小さくする系列を考えれば面積が収束する場合があります。

まず、頂角をθとします。θはどんな値でもいいわけではありません。一筆書きがいつかもとの頂点に戻ってくるためには、θはπの有理数倍でなければいけません。そこでθ＝aπ(aは正の有理数)とおきます。このとき、この(星型)正多角形は通常の正多角形と同様に言えば、2/(1-2a) 角形である、といえます。つまり星型正多角形として考えうるのは「2より大きな有理数」角形のみです。そこで、(2+ p/q) 角形を考えましょう。議論をややこしくしないため最初からp,qは共通の約数を持たないものとします。このとき、頂角は p/(p+2q) π になります。頂角を小さくする極限を考えるので、q → ∞ (「pと互いに素な整数の範囲で」どんどん大きな値にする)とすることになります。

実は、ご質問の面積の極限はpに依存します。

面積を計算するために、星型正多角形の尖っている点(頂点)と、それに隣接する凹んでいる点、多角形の中心、の3点を結んで出来る三角形(以下では"基本三角形"と呼ぶことにします)を考えると、星型正多角形とは、基本三角形とその鏡像の三角形それぞれ(p+2q)枚を張り合わせた図形であることが分かります。

さて基本三角形は最長辺が1です。また、長さ1の辺の両端点の角を、多角形の中心側をα、多角形の頂点側をβとおけば、それぞれ
α=π/(p+2q), β=pπ/(2(p+2q)) となっています。

このことから、三角関数の計算で最長辺に対する高さ h を求めると、
h = sin(α)sin(β)/sin(α+β) となり、
基本三角形の面積は、h/2 よってその鏡像の三角形も面積は h/2、結局星型多角形の面積は
(h/2+h/2)×(p+2q) = h(p+2q) となります。

そこで、ご質問の面積の極限は、

lim[q → ∞ ]{ (p+2q)sin(π/(p+2q),)sin(pπ/(2(p+2q)))/sin(π/(p+2q)+pπ/(2(p+2q)))}

となるわけですが、π/(p+2q)=tとおくと、この極限は

lim[t → 0]{π/t sin(t)sin(pt/2)/sin((1+p/2)t)}

と書き換えられ、さらに

lim[t → 0]{sin(t)/t} = 1であることを使うと、

この極限は、pπ/(p+2) となります。

よって、pの値次第で、極限はπ/3やπ/2や3π/5などになりますし、qに比べて緩やかながらpも無限に大きくする極限を取ればπになります。しかしこの結果から、「極限は0に近づくことはなく、少なくとも外接円の面積(π)の1/3の大きさになる」ということも分かります。

ちなみに、極限がπ/3に近づくパターンはp=1の場合、つまり頂角がπ/(2q+1)となるような星型正多角形でq→∞とした場合です。
これはいわゆる尖った五角形の星型(q=1の場合)を含む系列で、尖った七角形(q=2の場合)、尖った九角形(q=3の場合)、、、と続きます。

お礼

ご教示を大切にさせていただきたいと思います。頂角がπに近づくほうはわかりやすい円になるのと対照的に難しいということがよくわかりました。