a^3+b^3+c^3は因数分解出来るん

質問

ですか？

回答No.1

mamoru1220 · ベストアンサー

与式が「a^3+b^3+c^3-3abc」であれば可能です。

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
=(a+b)^3)+c^3-3ab(a+b+c)
={(a+b)+c}{(a+b)^2-(a+b)*c+c^2}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

お礼

そうなんですね。

ありがとうございました。

回答No.6

noname#199771

＞すみません。Z_3(=Z/3Z)ってなんですか？

整数mとnについて、m-nが3の倍数のときに同一視したものです。

a≡b(mod 3), c≡d(mod 3)のとき、
a+c≡b+d(mod 3), ac≡bd(mod 3)なので、

<0>={3の倍数全体}
<1>={3で割ると1余る整数全体}
<2>={3で割ると2余る整数全体}
として
Z_3={<0>,<1>,<2>}
という集合を考えるとZ_3の各要素間で普通の数のように加減乗除が定義できます。

お礼

整数は習ってないです。

補足をありがとうございました。

回答No.5

noname#199771

ちなみにZ_3(=Z/3Z)で考えるなら
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3
になります。

お礼

ありがとうございます。

すみません。Z_3(=Z/3Z)ってなんですか？

回答No.4

info22_

文字変数a,b,cについての多項式としては
実数の整数や分数の係数の因数の積には因数分解できません。

お礼

そうなんですね。

ありがとうございました。

回答No.3

noname#199771

#2ですが、1次式とか2次式という言葉に語弊があるので、
それぞれ"cの"を付加してください。失礼しました。

お礼

訂正ありがとうございました。

回答No.2

noname#199771

実数係数の範囲ならば、
A=(-(a^3)-b(^3))^(1/3)として
a^3+b^3+c^3
=(c^3)-(A^3)
=(c-A)(c^2+cA+A^2)
と二次以下の式の積に分解できます。

複素数係数の範囲ならば、
さらにα=(1+√(-3))/2,β=(1-√(-3))/2として
a^3+b^3+c^3
=(c-A)(c-αA)(c-βA)
と一次式の積に分解できます。

a,b,cについて対称なので上記でa,b,cを入れ替えても可。

お礼

確かに、そういうやり方もありますよね。

ありがとうございました。