信号処理（フーリエ）の計算

質問

an=∫(-π～π) (t*sinnωt)dt +∫(-π～π) (πsinnωt)dt

この答えが０になるはずなんですが、計算すると、
途中でcosnωπがでてきてしまい、何度計算しても
最終の答えがわかりません・・・
どなたか途中計算も含めた回答お願いします。

また、sinπ＾２とcosπ＾２は
いくつになりますか?

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

「an=」と書いている所を見るとフーリエ級数の展開係数の計算のようだね。
積分範囲が(-π～π) であるところを見ると基本周期がT=2πのようだね。
従って基本角周波数ωo=2π/T=1となるね。
フーリエ級数展開する周期関数f(t)のt＝-π～πの1周期は
　f(t)=t (t=-π～π)
のようなのでフーリエ級数展開係数はf(t)が奇関数であるから
　an=0 (n=0,1,2,…)
　bn=(4/T)∫(0～T/2) t sin(nωot) (n=1,2,3,…)
　　=(2/π)∫(0～π) t sin(nt)dt
部分積分して
　bn=(2/π){[t(-1/n)cos(nt)](t:0～π)+(1/n)∫(0～π) cos(nt)dt}
　　=(2/π){-(π/n)cos(nπ)+(1/n)[(1/n)sin(nt)(t:0～π)}
　　=(2/π){-(π/n)*(-1)^n+((1/n)^2)sin(nπ)}
　　=(2/n)*(-1)^(n+1) (n=1,2,3,…)
フーリエ級数展開は
　f(t)=Σ(n=1,∞) (2/n)*((-1)^(n+1))sin(nt)
となります。

>an=∫(-π～π) (t*sinnωt)dt +∫(-π～π) (πsinnωt)dt
フーリエ級数展開ではこのような式は出てきません。
教科書等で復習して確認して見てください。

なお、
a0=(2/T)∫(-π～π)f(t)dt=(1/π)∫(-π～π) tdt=0
(∵奇関数の対称区間での積分)

基本角周波数ωo=2π/T=1であるから
an=(2/T)∫(-π～π)f(t)cos(nωot)dt
=(1/π)∫(-π～π) t cos(nt)dt=0
(∵t cos(nt)　は「tが奇関数、cos(nt)が偶関数でその積であるから」奇関数になります。奇関数の対称区間での積分は「=0」になります。

従って奇関数のフーリエ級数展開では an=0(=0,1,2,…)なので
bn (n=1,2,…)しか現れません。

>この答えが０になるはずなんですが、計算すると、
途中でcosnωπがでてきてしまい、何度計算しても
最終の答えがわかりません・・・
どなたか途中計算も含めた回答お願いします。

anの式そのものが間違ってるようなのでanの計算をしても意味ないでしょう。
f(t)の正しいフーリエ級数展開の計算過程は最初に書いた通りです。

>また、sinπ^2とcosπ^2は
いくつになりますか?

(sin(π))^2=0^2=0
(cos(π))^2=(-1)^2=1

お礼

ご回答ありがとうございます。
いろいろ説明不足ですいませんでした。
なんとか解くことができました!

他の回答者の方も、ありがとうございました!

回答No.2

alice_44

0 にゃ、なりませんよ。
右側の積分は、0 になるけれど、
左側の積分は、0 じゃない。
地道に、部分積分してごらんなさい。

回答No.1

Tacosan

この式になるまでの過程のどこかで間違えてるんじゃないですか?