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ある積分の計算。∫0~π/2 sin^4t dt
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漸化式を利用しているのだと思います。 工(0)=∫[0,π/2](sinT)^0]dt=(π/2) 工(1)=・・・今は不要。 n≧2 工(n)=∫[0,π/2](sinT)^n]dt =[(-cosT)・(sinT)^(n-1)][0,π/2] +(n-1)∫[0,π/2][(cosT)^2・(sinT)^(n-2)]dt =(n-1)∫[0,π/2][1-(sinT)^2][(sinT)^(n-2)]dt =(n-1)工(n-2)-(n-1)工(n) ------ n工(n)=(n-1)工(n-2) 工(n)=[(n-1)/n]工(n-2) ------ 工(2)=(1/2)工(0)=(1/2)(π/2) 工(4)=(3/4)(1/2)(π/2) 工(6)=(5/6)(3/4)(1/2)(π/2) 工(8)=・・・ となります。 -----
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- Tacosan
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や, 地道に計算すればいいんですよ. sin を cos に直す意味はわからんけど.
- proto
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公式ですね。 nが偶数のとき ∫[0~π/2]{(sin(x))^n}dx = (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * … * 1/2 * π/2 nが奇数のとき ∫[0~π/2]{(sin(x))^n}dx = (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * … * 2/3 となります。 質問ではn=4のときですから、 (与式) = (4-1)/4 * (4-3)/(4-2) * π/2 = 3/4 * 1/2 * π/2 です。 導出は以下の通り I{n} = ∫{(sin(x))^n}dx とおく(I{n}は関数列でn番目の項ってことです) I{n} = ∫{sin(x)*(sin(x))^(n-1)}dx 右辺に部分積分を用いて I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)∫{sin(x)^(n-2)}dx -(n-1)∫{(sin(x))^n}dx I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2} -(n-1)*I{n} 右辺第3項を左辺へ移項して n*I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2} I{n} = {-cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2}}/n というわけで、ここにI{n}とI{n-2}についての2項間漸化式が出来上がりました。 I{n}を[0,π/2]の区間での定積分とすると、右辺第1項は消えて [I{n}](0~π/2) = (n-1)/n*[I{n-2}](0~π/2) これをI{1}かI{0}になるまで繰り返し、 [I{1}](0~π/2) = ∫[0~π/2]{sin(x)}dx = 1 [I{0}](0~π/2) = ∫[0~π/2]dx = π/2 を適用すれば題意の公式が得られます。 ちなみに∫[0~π/2]{cos(x)}dxでも同様の公式が得られるので、勉強のつもりで導出してみてはいかがでしょうか。
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とても丁寧な回答ありがとうございます。 おかげさまで解決しました。
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