射影空間の定義について

質問

射影幾何のついて学び始めたのですが、抽象的なためか定義の理解に苦しんでいます。
「複素ベクトル空間Vの射影化P(V)とは、V\0の同値関係～による商である。」とあり、直後の問題で、「このP(V)とVの１次線形部分空間の集合と自然な１体１対応があること示せ。」とあります。私としては、n次元ベクトル空間Vに対する１次元部分ベクトル空間との１体１対応、かと思っていたのですが、違う本を参照してみると、
「Def.ベクトル空間Vの１次元線型部分空間をP(V)とかき、射影空間と呼ぶ。Vがn+1ならばP(V)はn次元であるという。」と、ありました。

質問は次です。
Q,下の定義において、１次元線形部分空間なのに、なぜｎ次元の話になるのか。
この時、上の問題の回答は、
(x0,x1,…,xn)→(x1/x0,…,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

No.1です
>問題についてですが、座標があるとすれば、x0=0の場合はx1からxnをそのまま対応させることで良いのではないかと考えます。

座標があるとしても
x0=0のときにx1からxnをそのまま対応というのはだめです．
(1,1,...,1)と(0,1,...1)が同じ点に対応することになります．
そして，そもそも
一般のベクトル空間には「基底に依存しない座標」は存在しません．
しかし，実際は
質問中にある「自然な対応」は存在するのです．

回答No.1

kabaokaba

>複素ベクトル空間Vの射影化P(V)とは、V\0の同値関係～による商である。

「V\0」というのと「～」というのの定義が不明だから
意味が通じません．

V-{0}における関係～を以下のように定める
V-{0}の元，a，bに対して
0ではない複素数kが存在し，a=kbとなるとき
a～bと定める．
このとき関係～は同値関係となる．
そこで，V-{0}の～による商をP(V)と表す．

この定義だとすると
P(V)={[a] | a はV-{0}の元}
であり，
[a]と「Vにおいてaが生成する一次元部分ベクトル空間」を対応させればよい．
この対応はwell-definedであることは一応証明が必要．

>Def.ベクトル空間Vの１次元線型部分空間をP(V)とかき、射影空間と呼ぶ。Vがn+1ならばP(V)はn次元であるという。

本当にこんなこと書いてますか？
まず，「１次元線型部分空間をP(V)」←これ間違い
正しくは「１次元線型部分空間の集合をP(V)」とかくべき．
それに，
「Vがn+1ならばP(V)はn次元」
これもおかしい．Vはベクトル空間なので次元の定義は明確だけど
P(V)は現状ではたんなる集合にすぎないので，
そもそも次元の概念が未定義でしょう．

>Q,下の定義において、１次元線形部分空間なのに、なぜｎ次元の話になるのか。

「下の定義」なんてものは不明ですが，
一次元線形部分空間を集めれば，それがn次元分ある
（次元の定義はもちろん必要）ということ．
直観的には，n+1次元の中の「原点を通る直線」だけ集めたので，
n+1個ある自由度のうち一個が固定されてしまって
自由度が一個へった感じ．
実際は多様体としての次元がnであるということなんですが
ここらはあなたが何をすでに知っているかが分からないので
どうにも説明は難しいです．

>(x0,x1,…,xn)→(x1/x0,…,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。
本質的にはそうなんだけど
そもそもVに座標はありますか？
かりに座標が存在したとして，この対応は座標に依存していいのですか？
さらに，x0が0だったらどうしますか？
これに対する答えは，すでに上で述べています．
「自然な対応」とか言う場合は，ほんとうに明確なものがあることをいうのです．

お礼

返答有難う御座いました。
「１次元部分ベクトル空間の”集合”」がP(V)でした。
問題についてですが、座標があるとすれば、x0=0の場合はx1からxnをそのまま対応させることで良いのではないかと考えます。

多様体についてはまだ勉強不足です。
丁寧な回答有難う御座いました。