xlog(1 + 2/x)

質問

xlog(1 + 2/x) = 2 * log(1 + 2/x)/(2/x)→2
x→∞
らしいのですがこれは何故ですか？
log(1 + 2/x)/(2/x)→0/0ですよね？
　　　　　　　　x→∞

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

L=lim(x→∞)xlog(1+(2/x))=2lim(x→∞)(log(1+(2/x))/(2/x)
2/x=tとおくと(x→∞)の時(t→+0)より
=2lim(t→+0)log(1+t)/t
=2lim(t→+0)(log(1+t)-log(1+0))/(t-0) ←微分の定義
=2{log(1+t)}'(t=0)
=2/(1+t)|(t=0)
=2

あるいは
L=2lim(t→+0)log(1+t)/t
0/0型なのでロピタルの定理を使って
=2lim(t→+0)(1/(1+t))/1
=2*1/1
=2

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.3

naniwacchi

lim[t→∞] (1+ 1/t)＝ eの定義を用いれば、もうちょっと簡単に。

2/x＝ 1/tとおくと、x→∞のとき　tについても　t→∞
(与式)
＝ lim[x→∞] log{ (1+ 2/x)^x }
＝ lim[t→∞] log{ (1+ 1/t)^(2t) }
＝ lim[t→∞] log{ (1+ 1/t)^t }^2
＝ log(e)^2
＝ 2

お礼

分かりました ありがとうございました

回答No.2

spring135

L=lim(x→∞）xlog(1 + 2/x)

=lim(x→∞)2*log(1+2/x)/(2/x)

=lim(y→0)2*log(1+y)/y

(y=2/xとおく)

ロピタルの定理より分子、分母をyで微分して

L=lim(y→0)[2/(1+y)]/1=2

お礼

分かりました
ありがとうございました