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Σ[n=1~∞]x/(1+x^2)^n

Σ[n=1~∞]x/(1+x^2)^nが x ≠ 0 のとき S = xr/(1-r) = 1/x となるのは何故ですか?

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  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

これは公比1/(1+x^2)の等比級数です。 従ってそのn項までの和Snは初項をaとして Sn=Σ[i=1~n]x/(1+x^2)^i=a[1-(1/(1+x^2))^(n+1)]/[1-(1/(1+x^2)]   =a[1-(1/(1+x^2))^(n+1)](1+x^2)/x^2 a=x/(1+x^2)なので Sn=[1-(1/(1+x^2))^(n+1)]/x 従って Σ[n=1~∞]x/(1+x^2)^n=lim(n→∞)Sn=1/x

noname#177538
質問者

お礼

分かりました ありがとうございました

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その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

同じ質問の前回投稿への回答に、 Σ の中身が x(rのn乗) になることを示して、 「等比級数です」と書いた上で = xr/(1-r) としておいたのに、 等比級数が何者だか、自分で調べなかったの? その姿勢は、ちょっとよくないよ。

noname#177538
質問者

お礼

すみません

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