- ベストアンサー
条件収束する級数の並び替えに関する定理と疑問点
Tacosanの回答
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「自然数を並び替えた集合」ってなんだろう. 今対比すべきは「自然数列の集合の濃度」と「実数の集合の濃度」ですよね. で, これは実際に等しかったりします.
関連するQ&A
- 級数が収束するか教えてください
級数の問題について教えてください。 次の級数が収束するかどうか知りたいです。 (1)(∞)Σ(n=o) (n!)^2/(2n)! (2)(∞)Σ(n=1) log(1+(1/n) (3)(∞)Σ(n=1) 1/√n・log(1+(1/n) ダランベールの判定法で解くのかと思いましたが、b=1になってしまい分かりませんでした。 他の解き方があるのでしょうか。 Σ1/n^s で解く方法も習った記憶があるのですが、解き方がよく分かりません。 (ぜんぜん関係なかったらすみません) どなたか分かる方、宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 級数の収束・発散について
次の問題について教えていただきたいです。 正の実数列{a_n}について Σa_n=∞ 成り立つとき (1) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n) の収束・発散を判定せよ。 (2) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n)^2 の収束・発散を判定せよ。 以上です。級数は3つともすべてn=1~∞の和です。 (1),(2)ともに分数の分母は和,和の二乗です。 (1)は発散・(2)は収束と結果は予想が容易につくのですが証明がさっぱりです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- べき級数の収束半径についての証明
べき級数の収束半径についての証明 べき級数Σc_nz^n,Σd_nz^nの収束半径をR,R'とするとき、|c_nZ^n|≦|d_nz^n|(∀n)が成り立つとき、R≦R',R'≦Rのどちらが成り立つか答え、それを証明せよ。 という問題なのですが… 以下のように証明したのですが、いかがでしょうか?? <証明> |c_nz^n|≦|d_nz^n| が成り立つとき、比較定理より、 「Σd_nz^nが収束する⇒Σc_nz^nも収束する」 ことが言える。よって、 R'≦R // いかがでしょうか?? 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数の収束性
こんにちは。 フーリエ級数を眺めていてふと思ったのですが、基本周波数の自然数倍の周波数をもつ三角関数のみで全ての周期関数に収束するのはなぜですか。自然数倍でないもの、例えば1.5倍などの周波数はなぜ使う必要がないのでしょうか。 フーリエ級数展開は、直交関数列の各関数に対応する係数を取り出しているだけですよね?関数列に取りこぼしがあれば収束できないものも出てくるのではないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限級数の収束、発散について
閲覧ありがとうございます。 Σ(√n)/(1+n^2) という無限級数がなぜ収束するのかを教えてください。ちなみに自分は (√n)/(1+n^2)≦(√n) で(√n)が発散するので比較定理から、無限級数も発散するのかと思っていましたが、間違っていました。 どこがおかしいのかも、合わせて回答いただけると助かります。どうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学1年レベルの級数に関する問題です
∞ ∞ f(x)=Σ(a_n・x^n)に対して、Σa_n/(n+1)が収束すれば n=1 n=1 1 ∞ ∫f(x)dx=Σa_n/(n+1) が成立することを示せ。 0 n=1 という問題についてなのですが 私はこの問題を見たとき、次の定理 閉区間A=[a,b]上の連続関数f_n:A→R(n=1,2,・・・)を一般項とする関数項級数Σf_n(x)がA上で一様収束していれば a ∞ ∞ b ∫ Σf_n(x)dx=Σ ∫f_n(x)dx が成立する。 b n=1 n=1 a という、項別積分の定理を使おうと思いました。 それで、f_n(x)=a_n・x^nとし、この問題において与えられたΣa_n/(n+1)が収束という条件から、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導こうとしたのですが、うまくいきませんでした。 しかし、Σa_n/(n+1)が収束ではなく絶対収束だったら、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導けました。 具体的には、 Σa_n/(n+1)が絶対収束より、Σ{a_n/(n+1)}x^nの収束半径Rは1<Rを満たす。また、Σ{a_n/(n+1)}x^nとΣa_n・x^nの収束半径は等しい。 ここで 「整級数Σa_n・x^n=Σf_n(x)の収束半径をRとする。0<s<Rなる任意のsに対し、閉区間[-s,s]でこの関数級数は一様収束する」 という定理から、とくにs=1としてやれば、関数項級数Σf_nは[-1,1]で一様収束することが導ける。よって[0,1]でももちろん一様収束するから項別積分の定理が使える。 としました。 なのでもしかしたら”収束”という箇所がミスプリントなのでは?と思ったので質問させていただきました。 ですが、私が単に、収束という条件から答えを導き出せてない可能性のほうが高いと思うので。。。 どなたか回答よろしくお願いしますm(_ _)m ぜんぜん解けなくてとても困ってます・・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
123456…と無限に続く自然数を並び替えたものです。 213456… 231456… 234156… などなど。その集合を自然数を並び替えた集合と呼びました。 これは数列を並び替えたものに対応すると思いまして。 自然数列と実数の濃度が等しいのですか!良かったらそれを解説しているホームページや本があったら教えて下さい。