4×4の行列のジョルダン標準形
A=4×4の行列のジョルダン標準形の求め方について次の考え方でいいですか?
(1)固有値が4重根の場合、固有値をλ。
(1)rank(A-λE)=1の時、
固有空間の次元は、4- 1=3
したがってジョルダン細胞は3個。
4×4行列だから、2次+1次+1次。
よって、J=J(λ,2)+J(λ,1)+J(λ,1)
(2) rank=2の時、
ジョルダン細胞数は、4-2=2個。
2次+2次、または3次+1次。
そこで、
(A-λE)≠０と(A-λE)^2=０だったら、最高次数は2だから、J=J(λ,2)+J(λ,2)
(A-λE)^3=０だったら、J=J(λ,3)+J(λ,1)
または、rank(A-λE)^2=1だったら、
J=J(λ,3)+J(λ,1)
(3)rank=3の時、
ジョルダン細胞数は、4-3=1個
よって、J=J(λ,4)
(2)3重根λ1、単根λ2の場合
(1)λ1に対してrank=1の時、
ジョルダン細胞数は、4-1=3個
λ2は単根だから1次、λ1は残り3次に対して3個のジョルダン細胞数だからすべて1次。
よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)
(2) λ1に対してrank=2の時、
ジョルダン細胞数は、4-2=2個
残り3次に対して2個だから、λ1のジョルダン細胞次数は、2次+1次。
よって、J=J(λ1,2)+J(λ1,1)+J(λ2,1)
(3)λ1に対してrank=3の時
ジョルダン細胞数は、4-3=1個
よって、J=J(λ1,3)+J(λ2,1)
(3) λ1(2重根)、λ2(2重根)の場合
rank=1は、固有空間が3次元になるのであり得ない!!固有ベクトルが2個だから、固有空間の次元もそれ以下に必ずなる。
(1) λ1に対してrank=2、λ2に対してrank=2の時
それぞれジョルダン細胞数は、4-2で2個ずつだから、全部1次。
よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ2,1)
(2) λ1に対してrank=3、λ2に対してrank=2の時、
λ1のジョルダン細胞数は、4-3=1個
λ2のジョルダン細胞数は、4-2=2個
よって、2次+1次+1次
J=J(λ1,2)+J(λ2,1)+J(λ2,1)
(3) λ1とλ2に対して両方rank=3の時、
ジョルダン細胞数は、それぞれ1個ずつ。
2次+2次。
よって、J=J(λ1,2)+J(λ2,2)
(4) λ1(2重根)、λ2(単根)、λ3(単根)の場合
(1) λ1に対してrank=2の時、
ジョルダン細胞数は、4-2=2
よって、1次が2つ。
よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ3,1)
(2) λ1に対して、rank=3の時、
ジョルダン細胞数は、4-3=1個。
2次が1個。
よって、J=J(λ1,2)+J(λ2,1)+J(λ3,1)
(5) 4つの固有値がすべて異なる場合。(λ1、λ2、λ3、λ4)
すべて1次のジョルダン細胞
J=J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ3,1)+J(λ4,1)
rankは計算する必要なし。
たとえ求めても、ジョルダン細胞数はそれぞれの固有値に対して4-3=1個だから、必ず3になる。
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