y=xを回転軸とする回転体の体積

質問

添付の画像の定積分を上手に計算できる方法はないでしょうか？
式を展開して、部分積分などを使って計算する方法しか思いつかず、とても大変でまいってます。

関数 y=x と曲線 y=(e^t - 1)/2 によって囲まれる部分を y=x を回転軸として得られる回転体の体積Ｖを求める問題なのですが・・・。

Ｖ　＝　（アα^3　＋　イα＾２　＋　ウα）π　・・・※

のア・イ・ウを求める問題です。※と表されることがわかっていることは、計算のヒントになるでしょうか？問題にはＶが※の形で表されるとヒント？があります。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

t って何？
ともかく、x=y の方向ベクトル (1,1,0) を
軸方向のひとつに持つような、正規直交変換を
施すことが、最初の一手でしょう。

お礼

t について、説明が漏れすみません。

曲線　y=(e^x -1)/2 と直線 y=x との共有点２点のうち、
原点でない方の座標を(α，α)とします。
曲線 y=(e^x -1)/2 上の、0≦x≦α の部分に点Ｐをとったときの
点Ｐのｘ座標をｔとしています。

質問に、もう少し説明を添えるべきですね。。。
説明不足、失礼しました。

>軸方向のひとつに持つような、正規直交変換
と同様の操作だと思いますが、置換積分を用いています。
この部分についての説明も、これから補足してみます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞関数 y=x と曲線 y=(e^t - 1)/2 によって囲まれる部分を
＞ y=x を回転軸として得られる回転体の体積Ｖを求める
曲線は、y＝ (e^x- 1)/2ですよね。変数が tになっていたので。

tは曲線上の点( t, (e^t-1)/2 )を表していて、直線までの距離を考えているのでしょうね。
で、積分の式ですが、√2/4* (2+ e^t)の項はどこから出てきたのでしょうか？？？

その部分が「すっきりした形」になれば、答えにたどりつくのは大した計算になりません。
というか、いまの形では答えにたどり着けません。

お礼

>曲線は、y＝ (e^x- 1)/2ですよね。変数が tになっていたので。
すみません、間違って書いてしまいました。

＃１さんも回答くださいましたが、
私の質問が説明不足でした。

ことばで補足すると、数式が読みづらいと思いますので、
一度、このＱＡを閉じて、改めて投稿したいと思います。

回答いただいて、また、間違いを指摘していただいて、
ありがとうございました。

ベストアンサーを１人しか選べないので、
とても心苦しいのですが、ここでは＃１さんをベストアンサーにさせて頂きます。