回転体の体積（ｙ軸の周りに回転）

質問

初級公務員の問題なのですが、解き方が分からず困っております。

放物線ｙ＝ｘ＾２－４（＾２＝２乗）とｘ軸とで囲まれた部分をｘ軸、ｙ軸の周りに回転して得られる立体の体積を求めよ。
答え　ｘ軸：（５１２/１５）×π
　　　　ｙ軸：８π

ｘ軸に関しては公式が載っていたので分かったのですが、ｙ軸に関しては答えしか載っていなく、解き方が分かりません。
皆様、どうぞご回答を宜しくお願い致します。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

x軸まわりは、π∫y^2dxでしたから、

y軸まわりは、π∫x^2dyで求められます。

π∫[-4,0] x^2dy
=π∫[-4,0] (y+4)dy
=π[y^2/2+4y][-4,0]
=π(-8+16)
=8π

です。

お礼

ｘとｙを入れ替えて解けば良いのですね。
ご丁寧に計算式まで教えて頂いて、ありがとうございました。

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

半径ｘの円の面積は Ｓ＝πｘ^2
これはｙを用いて、Ｓ＝π(y+4) と書ける（ｙ＝ｘ＾２－４を変形して代入）。

体積はこの円の面積Ｓをｙについて－２→０まで積分したものになります。

お礼

公式にばかり目がいってましたが、こういう考え方から式が生まれるんですね！
良く理解できました。
簡潔で分かりやすいご説明、ありがとうございました。