確率論 幾何分布の問題です。

質問

確率論 幾何分布の問題です。回答お願いします。

確率変数Xは幾何分布G(ｐ)にしたがっているとする。

１．xを非負の整数として、確立P(X≧x)を求めよ。
２．Xの積率母関数を、その定義に従って求めよ。

まだ勉強したてなので詳しく教えていただけるとありがたいです。

幾何分布のP(X=x)＝p(1-p)^xっていうのはわかるんですが、コレを使って求めるんですか？
どうやっていいのかわかりません。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

ask-it-aurora · ベストアンサー

1. ふつうに足し合わせるだけでは？ 無限等比級数の和を計算すれば
P(X ≧ x) = P(X = x) + P(X = x + 1) + … = Σp(1 - p)^(x + n) = (1 - p)^x.

2. X の積率母関数の定義はきっと g_X(t) := Σp(X = n) t^n でしょうからこの場合は
g_X(t) = Σp(1 - p)^n t^n.

## 幾何分布というのは「成功確率が p であるような試行を続けたとき, 初めて成功するまでの失敗回数」の分布です. 平たくいえば1.の結果は二人でじゃんけんをしたときに勝負がつくまで x 回以上かかる(つまりあいこが x回以上出たあとに勝負がつく)確率は (2/3)^x だと言っているわけです.
lim(x → 0)(1 - p)^x = 1, lim(x → ∞) (1 - p)^x = 0
も一回も勝負をしなければ決着はつくはずもなく, 何度もじゃんけんをすれば必ず決着がつく(確率は 0 に近づく)という常識的な結論になります.

お礼

回答ありがとうございます。
一度やってみます。

回答No.4

alice_44

＞ 答えそのものも教えてもらってもいいですか？

数列に対して「母関数」というものを定義することがあります。
いろいろな種類の母関数があるのですが、よく使われるものに
「指数型母関数」というのがあります。
数列 { a_k } に対して f(t) = Σ {(a_k)/(k!)} t^k がソレです。
f の n 次導関数 f^(n) に t = 0 を代入すると a_n = f^(n)(0)
だという特徴を持っています。数列を生み出す母なる関数という感じですか。
ここでは具体例は省きますが、こういうものを定義しておくと、
数列に関係した計算に役立つ場合があるのです。

一方、確率変数 X に対して、X^n の期待値を「n 次の積率」と言います。
X の分散が V[X] = E[ (X-E[X])^2 ] = E[ X^2 ] - { E[X] }^2
と表されるように、積率は確率変数に関係した様々の計算に現れます。

この二つを組み合わせて、確率変数 X の n 次積率を第 n 項とする数列
の指数型母関数を、「X の積率母関数」と言うのです。

積率母関数は、e^(tX) の期待値として計算できます。
なぜそうなるかは、Σ[k=1…∞] e^(tk) P(X=k) 式内の e^(tX) を
マクローリン展開して、二つの Σ の順番を入れ替えれば、示せます。

２.を実際にやってみましょう。
f(t) = Σ[k=1…∞] e^(tk) P(X=k)
　　= Σ[k=1…∞] e^(tk) p(1-p)^k
　　= p Σ[k=1…∞] { e^t (1-p) }^k
　　= p e^t (1-p) / { 1 - e^t (1-p) }
ただし、|e^t| < 1/(1-p) のとき収束。
最後の行の式変形は、等比級数の公式です。

回答No.3

alice_44

←A No.2
それは、「確率母関数」。

お礼

確かに確立母関数みたいですね。

お礼を言うところでこんなことを言うのも恐縮なんですが、
なにぶん手元に模範解答的なものがなく
問題のみしか無いので答えそのものも教えてもらってもいいですか？

回答No.1

alice_44

１.
P(X=x)＝p(1-p)^x を使って求めるんです。
幾何分布は、自然数上の分布ですから、
P(X≧x) = Σ[k=1…x] P(X=k) です。
等比数列の和で計算できますね。

２.
積率母関数は、その定義に従って求めてください。
変数を t として、e^(tX) の期待値です。
Σ[k=1…∞] e^(tk) p(1-p)^k を計算しますが、
これも、等比級数ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
数列って苦手なんですよね（＾＾）
がんばってみます。