滑車の問題です。（期末テストにでそう）どなたかよろしくおねがいします。

質問

滑車にロープ（質量無視）を掛け、一端にMkgのおもりをさげ、他端を支えて静止させる。この支えを取り除いてからT秒後にMkgの人がロープの端をつかむ。その後の、おもり及び人の運動は？
　運動量保存則は成り立つんでしょうか、また撃力とやらを考えるんでしょうか？

回答No.10

keyguy · ベストアンサー

重箱の隅をつつきますと

重力加速度をｇとし
ロープの張力をF(t)とし
「人の重心」の床からの高さをｘ(t)とし
「重りの重心」の床からの高さをｙ(t)とし
人がロープをつかみ浮かび始めた時間を０とし
人がロープを完全にグリップした時間をε(>0)としたとき
0<tにおいて人の運動は
M・x"(t)=F(t)-M・gに従い
0<tにおいて重りの運動は
M・y"(t)=F(t)-M・gに従う
すなわち
0<tにおいてx"(t)=y"(t)
従ってx'(ε)-x'(0)=y'(ε)-y'(0)
またε<tにおいてはx'(t)+y'(t)=0(グリップ条件)であるから
x'(ε)+y'(ε)=0であり
またε<tにおいてはx'(t)+y'(t)=0よりx"(t)+y"(t)=0であるから
x"(t)=0である
従ってx'(ε)=(x'(0)-y'(0))/2
ε<tならばx"(t)=0であるからx'(t)は一定であり
ε<tならばx'(t)=x'(ε)=(x'(0)-y'(0))/2

0<t<εの間は手がロープを滑っていても手を伸ばしていてもよい
ε<tではグリップしているのだから手はロープを滑っていない(またこのときには手を引いたり伸ばしたりしてはならない)

もしロープに張力が働き始めてから人が浮遊するまでの時間が非常に短くその時点の重りの速さを-g・Tとすれば
x'(0)=0かつy'(0)=-g・Tとみなせるので
ε<tならばx'(t)=g・T/2　(一定)
さらにεが非常に小さいときには人の速さは0から瞬間的にg・T/2となり重りはg・Tからg・T/2となるが前にも言ったように時間を拡大すれば速さは連続に変化する事がわかる

お礼

keyguyさん大変詳しい説明ありがとうございました。言葉では曖昧な点が数式では明確に表現できるんですね。なんとか理解できたと思っています。いよいよ明日です。

回答No.9

tonbey

No4,5のものです。

張力発生時間が有限な場合について補足します。

No3の方の回答から引用
＞一方、人は重力と床からの垂直抗力と張力を受けますから運動方程式は
人：M2α＝T-(M2g-N)
です。
床から足が離れるまでの時間ひとは加速されますね。

これが正確な記述です。但し人体（その重心）については手足を伸ばすことによって、接地しつつも上方移動可能です。なるべく衝撃を吸収したいと思うなら、床にかける体重を限りなく0に近づけつつ、背伸びしながらロープを放さずにおもりの落下を減速させられます。このコントロールを完璧（接地してるのに反発力は０）にできれば、人体が床から離れるときに（おもり及び人体の）速さを1/2V0に出来ます。（幾何学的には接地してても、力学的には離陸したのと同じ）

もし、接地してる間に床を踏ん張る力が0でないなら（普通はそうでしょう）、床を離れるときには、速さは1/2V0以上になります。

お礼

再々の説明ありがとうございました。この問題一つ見ても物理問題の奥の深さを実感しました。よ～く理解して、明日に備えたいと思います。

回答No.8

keyguy

より正確に

重力加速度をｇとし
ロープの張力をFとし
人の床からの高さををｘとし
重りの床からの高さをｙとし
人がロープをつかみ浮かび始めた時間を０とし
人がロープを完全にグリップした時間をεとし
εを正としたとき(εはいくら大きくてもよい)
0<tにおいて人の運動は
M・x"=F-M・gに従い
0<tにおいて重りの運動は
M・y"=F-M・gに従う
すなわち
0<tにおいてx"=y"
従ってx'(ε)-x'(0)=y'(ε)-y'(0)
またε<tにおいてはx'+y'=0であるから
x'(ε)+y'(ε)=0であり
またε<tにおいてはx'+y'=0よりx"+y"=0であるから
x"=0である
またx'(0)=0であるからx'(ε)=-y'(0)/2
ε<tならばx"=0であるから
ε<tならばx'=-y'(0)/2　(一定)

もしロープに張力が働き始めてから人が浮遊するまでの時間が非常に短ければ
y'(0)=-g・Tとみなせるので
ε<tならばx'=g・T/2　(一定)

注意：
自然界ではデルタ関数のような撃力は存在せず時間を拡大すれば普通の関数であることがわかる
従って位置と速度は常に連続して変化する
撃力は短い時間にあくまでも有限な大きな力が働いているに過ぎずそのことを抽象化したものである

回答No.7

keyguy

「εは正で十分小さいとしたとき」
の仮定は不要です
この仮定があるときだけ運動量保存則が使えます
（そんな法則は忘れて常にニュートン則だけを使えばいいのです）
ただし0<t<εにおける人の振る舞いはグリップの仕方によります
グリップしたあとはどんなに遅くグリップしても人が床から浮かび始める時の重りの速さの半分の速さで人は上がっていきます

回答No.6

keyguy

重力加速度をｇとし
ロープの張力をFとし
人の床からの高さををｘとし
重りの床からの高さをｙとし
人がロープをつかみ浮かび始めた時間を０とし
人がロープを完全にグリップした時間をεとし
εは正で十分小さいとしたとき
0<tにおいて人の運動は
M・x"=F-M・gに従い
0<tにおいて重りの運動は
M・y"=F-M・gに従う
従って
x'(ε)-x'(0)=∫(0<t<ε)・F・dt/M-g・ε
y'(ε)-y'(0)=∫(0<t<ε)・F・dt/M-g・ε
またε<tにおいてはx'+y'=0であるから
x'(ε)+y'(ε)=0でありε<tにおいてx"=0である
またx'(0)=0,y'(0)=-g・Tである
よってx'(ε)=-y'(0)/2=g・T/2
すなわち
ε<tならばx'=g・T/2　(一定)

回答No.5

tonbey

>『２．の考え方ですが、撃力は重力よりもはるかに大きいと考えて運動方程式を立てれば、

そのとおりです。

＞人及びおもりからなる系に生ずる加速度は０、

本問の場合、おもりと人体の質量が同じだから、「運動量が保存される＝加速度（の大きさ）が同じ」となります。

質問者はもう理解されていますが、本問のばあい、滑車でロープが折り返されており、「おもりと人体の運動量のベクトルを180度反転させて考えれば、運動量が保存される」という関係になります。

＞したがって運動量は保存され、粘土球が衝突後合体して運動するのと同様に速度は1/2になる。・・・』でよろしいんでしょうか？

そのとおりです。

－－－－－－－－－－－－－－－－－
No4に補足回答します。

本問は、滑車で折り返されていることと、ロープによる引張りで運動量（＝力積）が交換されているという2点で目先を変えているものの、本質的には衝突の問題ですね。

No4回答項番１の場合、最初の衝突（ロープが突っ張った瞬間）以降、おもりは初速０で自由落下を再開（2回目）し、人体は初速V0で打ち上げられ、最高点に達した瞬間に、2回目の衝突が起こり、おもりは静止し、人体は再び初速V0で跳ね上げられる。以後、おもりは下に、人体は上に放物運動を繰り返しながら移動していく。おもしろい運動です。でも、これを正解にしたいなら、人体と言わずに、「同じ質量のおもりをロープの他端にくくりつけておく」という出題になったでしょう。

出題者の期待する回答は、No4回答の項番２だと思います。

ひょっとしたら、出題者自身も十分理解してないかも知れません。

お礼

tonbeyさん、何度もありがとうございました。助かりました。もやが少し晴れたような感じがします。物理って本当に難しい！！

回答No.4

tonbey

3通りの解が考えられそう。

１．ロープ、おもり 及び 人体すべてが剛体であれば、
完全弾性体の衝突と同様に（力積の交換は、押し合いではなく引っ張り合いになるものの）おもりが静止し、人体が同じ速度で上方に跳ね上がる。

２．ロープと人体の接続部が柔軟で、掴んだ後はおもりと人体が同じ速度（但し方向は逆）で運動するとすると、
粘土球の衝突と同様に、速度は2分の１になる。
このとき運動エネルギーは保存されずに一部（５０％）が人体に吸収される。

３．上記１と２の中間

以上3通りすべて、撃力で考えられます。（すなわちロープに張力が発生する時間（の長さ）を０に近づけた極限で考えられる。普通の物理の問題としてはそのように考えるでしょう。
運動エネルギが保存されるのは１の場合のみ。
２ないし３では多かれ少なかれ人体にエネルギの一部が吸収される。

張力発生時間を有限で考えてよいなら、（限りなく手足が長ければ）限りなく速度を小さくできると思います。

面白い問題だけど、今一自信が持てない。もう少し考えてみて変更が必要なら、再回答します。

お礼

ありがとうございます。
『２．の考え方ですが、撃力は重力よりもはるかに大きいと考えて運動方程式を立てれば、人及びおもりからなる系に生ずる加速度は０、したがって運動量は保存され、粘土球が衝突後合体して運動するのと同様に速度は1/2になる。・・・』でよろしいんでしょうか？

回答No.3

t-ripper

ごめんなさい。寝ぼけていました。
回答しなおしますね。
まず、運動量保存則は使えません。運動量保存則が使えるのは外力が働かないときですから。
分かり易くするために
M1はおもりの質量、M2は人の質量としますね。
まず、支えを取り除いてからt秒間はおもりが重力によりM1gの力をうけつづけます。t秒後の速度は
v。=gT
人がぶら下がった瞬間からおもりは張力Tをを受けます。
運動方程式は
おもり：M1α＝T-M1g
一方、人は重力と床からの垂直抗力と張力を受けますから運動方程式は
人：M2α＝T-(M2g-N)
です。
床から足が離れるまでの時間ひとは加速されますね。
最終的な速度はエネルギー保存則で
V=1/√2v。
でどうでしょうか。
等速運動が始まるまでの議論はごまかしているのですが....

回答No.2

t-ripper

まず、T秒後のおもりの速度vは、
v=gT
です。
人がロープをつかんだ後は力が釣り合っているので加速度は働きません。
よって、人もおもりもv=gTのまま等速運動をします。
単純なロープと滑車によってつながれた系の問題なので、
運動量を考えることはしません。

補足

t-ripperさんありがとうございます。
人がロープをつかんだ瞬間に働く力をF、ロープの張力をTとすると、運動方程式は（地面方向を正、加速度α）次でよろしいんでしょうか？
　人　：　　Ｍα ＝　ＭｇーＴ－Ｆ　・・・(1)
　おもり：　Ｍα　＝　ＴーＦーＭｇ　・・・(2)
(1)＋(2)より　α＝0　でよろしいんでしょうか？また、Fは無意味なんでしょうか？
　人が突然 gT の速度を得る所がよく分からないのですが

回答No.1

sakohiro

成り立つと思います。
また、この場合では力積は考えなくて良いでしょう。