数列問題

質問

この問題を解説してくれませんか。
やってみたのですが、どうしてもわからなくて。

(1)相異なるn個の実数a1、a2、a3、…、anが不等式
[a1－a2＞a2－a3＞…＞an-1－an＞an－a1(n≧3）]
をみたすならば、a1、a2、a3…、anのうちでa1が最大であることを示せ。

(2)相異なるn個の正の数a1、a2、a3…、anが不等式
a1/a2＞a2/a3＞…＞an-1/an＞an/a1(n≧3）
をみたすならば、a1、a2、a3…anのうちでa1が最大であることを示せ。

自分で考えろ等はいりません。
馬鹿なものですみませんが、わかりやすい解説お願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

[1]

a(k)-a(k+1)(k=1,2,・・,n-1)は減少数列である．初項a(1)-a(2)<0と仮定すると，a(1)<a(2)<・・・<a(n),a(n)<a(1)となり矛盾．よって初項a(1)-a(2)>0である．

（ア）m(2≦m≦n-1)において初めて負になるとする．つまり

a(1)-a(2)>a(2)-a(3)>・・>a(m-1)-a(m)>0>a(m)-a(m+1)>・・>a(n-1)-a(n)>a(n)-a(1)

よって最後の不等式以外から

a(1)>a(2)>・・>a(m-1)>a(m)<a(m+1)<・・<a(n-1)<a(n)

最後の不等式から0>・・>a(n)-a(1)より

a(n)<a(1)

よってa(1)が最大である．

（イ）（ア）でないとき，m(1≦m≦n-1)において常に正であるから，

a(1)-a(2)>a(2)-a(3)>・・>a(n-1)-a(n)>0

∴a(1)>a(2)>・・>a(n-1)>a(n)

よってa(1)が最大である．

以上よりa(1)が最大である．

[2]

b(k)=loga(k)とおくと，不等式の対数をとることにより，b(k)は[1]のa(k)と同じ条件を満たす．よってb(1)=loga(1),・・・,b(n)=loga(n)のうちb(1)=loga(1)が最大なので，logの単調増大性によりa(1),a(2),・・・,a(n)のうちa(1)が最大である．

お礼

ありがとうございます！