極小値の質問です

質問

Ｊ=2x^2+y^2-axy-x-3y+5

ｘ、ｙが任意の実数

Ｊが極小値が持つための実数aの必要十分条件をもとめよ。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

J = 2x^2 + y^2 - axy - x - 3y + 5.
二次式なんだから、素直に平方完成したら？

J = 2{x^2 - x(ay+1)/2} + y^2 - 3y + 5
　= 2{x - (ay+1)/4}^2 - 2{(ay+1)/4)}^2 + y^2 - 3y + 5
　= 2{x - (ay+1)/4}^2 + {(1-a^2/8)y^2 - y(a+12)/4} - 1/8 + 5.

1-a^2/8 = 0 の場合、J は放物型であり、
極小値がある条件は、同時に (a+12)/4 = 0 であること。
これは、成り立たない。

1-a^2/8 ≠ 0 の場合、
J = 2{x - (ay+1)/4}^2 + (1-a^2/8){y - (aの式)}^2 + (aの式)
と平方完成できるから、
極小値がある条件は、(1-a^2/8) ≧ 0 であること。

以上をまとめると、
極小値がある条件は、(1-a^2/8) ＞ 0 であること
…となる。
すなわち、-2√2 ＜ a ＜ 2√2.

ヘッシアンから極値を考えようというのは
関数を二次テイラー近似している訳で、
それを二次関数に使ったのでは、話が堂々巡りしている。

回答No.2

151A48

Jx=4x-ay-1 , Jy=2y-ax-3
Jxy=Jyx=-a , Jxx=4 , Jyy=2
(Jxy)^2-(Jxx)(Jyy)=(-a)^2 -8=a^2-8<0
なら極値をもつので　-2√2 <a<2√2
Jxx=4>0　ですからこのときJは極小。
極小をとるx , y は，Jx=0, Jy=0 の連立方程式をとけばよい。

＊Jx　はxにかんする偏微分等。

回答No.1

info22_

J=2x^2+y^2-axy-x-3y+5
Jx=4x-ay-1,Jy=2y-ax-3
Jx=Jy=0を解いて停留点を求めると
x=-(3a+2)/(a^2-8),y=-(a+12)/(a^2-8)
この停留点が極値候補点なので極小値が存在するためには停留点が存在する必要がある。これから
　a^2-8≠0 ∴a≠±2√2
Jxx=4>0,Jyy=2,Jxy=-a
停留点は１つしか存在しないから、この停留点で極小値をとらなければならない。
ヘッシアン det H(-(3a+2)/(a^2-8),-(a+12)/(a^2-8))
を計算すると
det H(x,y)=JxxJyy-Jxy^2=8-a^2
det H(-(3a+2)/(a^2-8),-(a+12)/(a^2-8))=8-a^2
Jxx(-(3a+2)/(a^2-8),-(a+12)/(a^2-8))=4>0
２変数関数の極値判定定理より、
停留点で極小値を持つための必要十分条件は
Jxx(-(3a+2)/(a^2-8),-(a+12)/(a^2-8))=4>0
かつ
det H(-(3a+2)/(a^2-8),-(a+12)/(a^2-8))=8-a^2>0
を満たすこと。
これに停留点の存在条件a≠±2√2を考慮すれば
　a^2<8 ∴-2√2<a<2√2 　←　(答え)

上の範囲のaに対して
x=(3a+2)/(8-a^2),(a+12)/(8-a^2)のとき
Jの極小値=(5a^2+3a-21)/(a^2-8)
となります。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf