無限級数の計算について

質問

|Ｘ|<1のとき、ζ(2)Σ_{k=n+1}^{∞} (k-2)C(n-1) X^(k-n-1) = 1/(1-X)^n の等号がなぜ成立するかがわかりません。もしわかられる方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？

※Σ_{k=n+1}^{∞}は、k=n+1から∞までの和を表すものとします。
※(k-2)C(n-1) はCombination(組み合わせ)を表すものとします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

右辺1/(1-x)^nのべき級数展開が左辺ということですか．そうなるかどうかやってみましょう．

まず

（☆）1/(1-x)=(1-x)^{-1}=Σ_{k=0}^∞x^k (|x|<1)

ですね．次にnを2以上の自然数とするとき

(d/dx)(1-x)^{-1}=(-1)(1-x)^{-2}(-1)
(d/dx)^2(1-x)^{-1}=(-1)(-2)(1-x)^{-3}(-1)^2
(d/dx)^3(1-x)^{-1}=(-1)(-2)(-3)(1-x)^{-4}(-1)^3
・・・
(d/dx)^{n-1}(1-x)^{-1}=(-1)(-2)・・・(-n+1)(1-x)^{-n}(-1)^{n-1}
=(n-1)!/(1-x)^n

最後の式は(d/dx)^0=1と約束するとn=1でも成り立ちます．これを変形して☆を代入するとべき級数は自由に項別微分できますから，

1/(1-x)^n={1/(n-1)!}(d/dx)^{n-1}{1/(1-x)}

={1/(n-1)!}(d/dx)^{n-1}Σ_{k=0}^∞x^k

={1/(n-1)!}Σ_{k=0}^∞(d/dx)^{n-1}x^k

ここでn0≦k<n-1のとき(d/dx)^{n-1}x^k=0でk≧n-1のとき

(d/dx)^{n-1}x^k=k(k-1)・・・(k-n+2)x^{k-n+1}

={k(k-1)・・・(k-n+2)(k-n+1)!/(k-n+1)!}x^{k-n+1}

={k!/(k-n+1)!}x^{k-n+1}(k≧n-1)

であるから

1/(1-x)^n={1/(n-1)!}Σ_{k=n-1}^∞{k!/(k-n+1)!}x^{k-n+1}

=Σ_{k=n-1}^∞[k!/{(n-1)!(k-n+1)!]x^{k-n+1}

1/(1-x)^n=Σ_{k=n-1}^∞(k)C(n-1)x^{k-n+1}

これはn=1の時も成り立ちます．よって

Σ_{k=n-1}^∞(k)C(n-1)x^{k-n+1}=1/(1-x)^n (|x|<1,n=1,2,・・・)

これをk→k-2と書きかえるとk≧n-1→k-2≧n-1,k≧n+1,(k)C(n-1)→(k-2)C(n-1)となりますから，

Σ_{k=n+1}^∞(k-2)C(n-1)x^{k-n+1}=1/(1-x)^n (|x|<1,n=1,2,・・・)

となります．ζ(2)は要らないと思います．

お礼

本にはζ(2)が書いてあったのですが、ミスプリントだったようです。
自分では気づかず、お教え頂き、有り難うございました。

回答No.4

alice_44

スナオに、f(x) = (1-x)の-n乗 を繰り返し微分すると、
f'(x) = (-n)((1-x)の-n-1乗)(-1) より f'(0) = n.
f''(x) = (-n-1)n((1-x)の-n-2乗)(-1) より f''(0) = n(n+1).
…
一般の j 次導関数について
(d/dx)j f(x) = n(n+1)(n+2)…(n+j-1)((1-x)の-n-j乗)
であることは、容易に想像できるし、帰納法で証明できる。
(d/dx)j f(0) = (n-1+j)! / (n-1)! と書けることに注意すると、
f のマクローリン展開は、与式左辺(ただし ζ(2) 抜き) と書ける。
式の成立する範囲が ｜x｜＜1 であることは、左辺の収束半径を
ダランベールの方法で、lim[j→∞] (n-1+j)C(n-1) / (n-1+j+1)C(n-1)
= lim[j→∞] (j+1)/(n+j) = 1 と求めれば、解る。

お礼

有り難うございます。よくわかりました！

回答No.2

alice_44

ζ(2) が不要なだけでしょ。式は修正しなきゃね。
あと、総和変数は k-n-1=j で置き換えたほうが
式か見やすいかな。

右辺をマクローリン展開して、
収束半径が 1 であることを確認すれば、
完了です。

お礼

ご指摘頂き、有り難うございます。
ζ(2) が不要なだけということに、全く気づいていませんでした。

回答No.1

Tacosan

少なくとも n=1 では成り立ちそうにないんだが.

お礼

何故なのかが、他の方の解答でもわかりました。
少なくとも n=1 では成り立ちそうにないというのも、確かにその通りだと思います。

お教え頂き、有り難うございました。