平行の条件って、a1=a2,b1=b2だから

質問

これらの辺々を掛けてa1b1-a2b2=０ってやってもいいんですか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

a_1=a_2,b_1=b_2は平行のための十分条件ですが，必要条件ではありません．

例えば(a_1,b_1)=(1,1),(a_2,b_2)=(2,2)のとき明らかに平行になりますが，このときa_1=a_2，b_2=b_2でもなく，a_1b_1-a_2b_2=0も成り立ちません．だから，a_1b_1-a_2b_2=0では平行の判断が一般にできないことになります．

それでは平行であるための係数の必要十分条件はどうなるかですね．それは次のようにして求められます．

直線ax+by+c=0の法線ベクトルは(a,b)：

ax+by+c=0⊥(a,b),

というのはいいですか．すると，

l_1：a_1x+b_1y+c_1=0⊥n_1=(a_1,b_1)

l_2：a_2x+b_2y+c_2=0⊥n_2=(a_2,b_2)

です．だから，

(1)l_1//l_2⇔n_1//n_2

となります．ここで，

_n_2'=(b_2,-a_2)

を考えると，内積

n_2・n_2'=a_2b_2+b_2(-a_2)=0

だから

(2)n_2⊥n_2'

です．(1)と(2)から

l_1//l_2⇔n_1//n_2⇔n_1⊥n_2'

⇔(a_1,b_1)⊥(b_2,-a_2)

⇔a_1b_2-b_1a_2=0

これが平行条件です．

先の例(a_1,b_1)=(1,1),(a_2,b_2)=(2,2)は確かにa_1b_2-b_1a_2=0を満たすから，平行と判断できます．

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

ベクトル (a1,b1,1) と (a2,b2,1) が平行となる条件なら a1=a2, b1=b2 だが、
(a1,b1) と (a2,b2) の平行条件なら A No.1 No.2 にあるとおりだし、
(a1,a2) と (b1,b2) の平行条件だと、また話が違う。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>平行の条件って、a1=a2,b1=b2だから 」 これらの辺々を掛けてa1b1-a2b2=０ってやってもいいんですか？

ax + by + c = 0 タイプの表示では、x-y 座標での傾斜が -a/b 。
二直線が平行なときは a1/b1 = a2/b2 なのでしょうから、a1b2 = a2b1 、つまり a1b2 - a2b1 = 0 でしょうね。

「a1=a2,b1=b2だから」ではなさそう。

お礼

ありがとうございました。