因数分解

質問

因数分解する問題で、
a^3-7a+6=0
という問いが出たのですが、解けませんでした。

解説を見ると、
a^3-7a+6=0
(a-1)(a^2+a-6)=0
(a-1)(a+3)(a-2)=0
になるとのことですが、何故一行目から二行目になるのかが分かりません。（二行目から三行目になるのは分かるのですが…。）
どなたかご教授お願いします。

回答No.2

Kirby64 · ベストアンサー

因数定理を使っていると思うニャ。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm

　ちなみに因数分解ではa^3-7a+6と言う式は問題に出るけど、a^3-7a+6=0は三次方程式の問題ニャ。

a^3-7a+6=0でa=1とすると、
1*1*1-7*1+6=0だから、a^3-7a+6はa-1を因数に持つことが分かるニャ。
(a^3-7a+6)÷(a-1)=a^2+a-6：これは普通筆算で計算するニャ。
a^3-7a+6
=(a-1)(a^2+a-6)
=(a-1)(a-2)(a+3)

　それか、
a^3-7a+6
=a^3-a-6a+6
=a(a^2-1)-6(a-1)
=a(a+1)(a-1)-6(a-1)
=a^2(a-1)+a(a-1)-6(a-1)
=(a-1)(a^2+a-6)かニャァ…。

お礼

無事理解することができました！お早い回答助かりました！他の解答者も含めて、ありがとうございました！

回答No.3

alice_44

三次以上の多項式を因数分解するときは概ね、
五次以上の多項式を因数分解するときは確実に、
ヤマカンに依らなくてはならない。

質問の一行目から二行目へは、ヤマカン。
a=1 を代入すると等式が成立することを
根拠なしで発見できない人は、沈黙するしかない。
発見できたら、「因数定理より」と
つぶやいておけばいい。

どうしても何かしらの根拠が必要になる人は、
以下の定理を知っておくと役立つ場合がある。

整数係数の代数方程式が有理数の解を持つ場合、
その解は、±(定数項の約数)/(最高次項の係数の約数)
という形のモノに限られる。

証明は容易だから、暇なら自分で試みるといい。
コレと因数定理を併せると、

整数係数の多項式が整数係数の一次式の因子を持つ場合、
その因子は、(最高次項の係数の約数)(変数)±(定数項の約数)
という形のモノに限られる。

質問の式では、(最高次項の係数)=1, (定数項)=6
だから、最高次項の係数の約数は ±1、
定数項の約数は ±1, ±2, ±3, ±6 で、
一次因子の候補は、a±1, a±2, a±3, a±6 に限られる。
この内どれが a^3-7a+6 を割り切るか、イチイチ
検証してみれば、答えは得られる。

もちろん、ヤマカンのほうが圧倒的に速い。

回答No.1

Tacosan

因数定理