この問題が解ける強者はいませんか？

質問

自然数ｎと正の数ｔに対して、ｆｎ（ｔ）＝∫（１→ｎ）１/ｘ｜logt/x｜ｄｘとおく。
（１）各ｎに対して、１以上ｎ未満のｔにおけるｆｎ（ｔ）の最大値Ａｎと最小値Ｂｎを求めよ。
（２）lim(n→∞）（Ａｎ＋１－Ａｎ）を求めよ。ただし、lim(x→∞）log/x=0は用いてよい。

（注）問題文のｎは前の英語の下の部分につきます。
おねがいします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

ｆ_ｎ(ｔ)=∫_1^n(1/x)|log(t/x)|dx

=∫_1^n(1/x)|log(t)-log(x)|dx

=∫_1^t(1/x)|log(t)-log(x)|dx+∫_t^n(1/x)|log(t)-log(x)|dx

=∫_1^t(1/x)(log(t)-log(x))dx+∫_t^n(1/x)(log(x)-log(t))dx

=log(t)∫_1^t(1/x)dx-∫_1^t{log(x)/x}dx+∫_t^n(1/x)log(x)dx-log(t)∫_t^n(1/x)dx

=log(t)log(t)-∫_1^t(1/x)log(x)dx+∫_t^n(1/x)log(x)dx-log(t){log(n)-log(t)}

ここで

F(x)=∫{log(x)/x}dx=∫log(x){log(x)}'dx={log(x)}^2-∫{log(x)}'log(x)dx={log(x)}^2-F(x)

∴F(x)=(1/2){log(x)}^2

∴ｆ_ｎ(ｔ)={log(t)}^2-F(t)+F(1)+F(n)-F(t)-log(t)log(n)+{log(t)}^2
=2F(t)-F(t)+F(n)-F(t)-log(t)log(n)+2F(t)=F(n)-log(t)log(n)-{log(n)}^2+2F(t)
=(1/2){log(n)}^2-log(t)log(n)+{log(t)}^2={log(t)-(1/2)log(n)}^2+(1/4){log(n)}^2

1≦t<nのとき、

f_n(1)=f_n(n-0)=(1/2){log(n)}^2

より

A_n=f_n(1)=(1/2){log(n)}^2
B_n=f_n(√n)=(1/4){log(n)}^2

>lim(n→∞）（Ａｎ＋１－Ａｎ）
これだと極限は１になりますが。