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質問

Ｐ1(x)=x, Ｐn+1(x)=∫[2x→x]tＰn(t^2)dt (n=1,2,3,…)により定めるとき、Ｐ10(x)の字数を求めよ。

この問題の解答解説をお願いします(>_<)

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

あきらかにP_n(x)は多項式である．その次数をN_nとする．

(1)P_{n+1}(x)の次数はN_{n+1}

∫[2x→x]tＰn(t^2)dt=F_n(x)-F_n(2x)

ここにF_n(x)はxP_n(x^2)の不定積分の一つ．xP_n(x^2)の次数は(1+2N_n)なのでF(x)の次数は2N_n+2．

F_n(x)=a_nx^{2N_n+2}+(2N_n+2未満の次数の項)

とすると，

F_n(2x)=a_n2^{2N_n+2}x^{2N_n+2}+(2N_n+2未満の次数の項)

であるから，

F_n(x)-F_n(2x)=a_nx^{2N_n+2}-a_n2^{2N_n+2}x^{2N_n+2}+(2N_n+2未満の次数の項)
=a_n(1-2^{2N_n+2})x^{2N_n+2}+(2N_n+2未満の次数の項)

(2)F_n(x)-F_n(2x)の次数は2N_n+2．

P_{n+1}(x)=F_n(x)-F_n(2x)

であるから，(1)，(2)より

N_{n+1}=2N_n+2

N_{n+1}/2^{n+1}-N_n/2^n=1/2^n

n≧2のとき

∴Σ_{k=1}^{n-1}(N_{k+1}/2^{k+1}-N_k/2^k=Σ_{k=1}^{n-1}1/2^k

N_n/2^n-N_1/2=(1/2)(1-1/2^{n-1})/(1-1/2)（n=1の時も成り立つ）

N_1=1より，

N_n/2^n-1/2=1-1/2^{n-1}
N_n/2^n=1/2+1-1/2^{n-1}=3/2-1/2^{n-1}

N_n=3・2^{n-1}-2

P_{10}(x)の次数は

N_{10}=3・2^9-2=1534

お礼

遅くなりましたがありがとうございます！またお願いいたします(^O^)