微分積分 グラフの長さ

質問

次の曲線の長さを求めてください。 (1) x^2/3+y^2/3=1 (x≧0,y≧0) (2) y=x√x (0≦x≦4) (1)はxの2/3乗です

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1です．お礼について．

円のパラメータ表示は既知とします．つまり，もし曲線が4分の1円

x^2+y^2=1 (x≧0,y≧0)

だったらx=cost,y=sint(0≦t≦π/2)とするのはよいですね．

さて，x^{2/3}+y^{2/3}=1 (x≧0,y≧0)ですが，これは

(x^{1/3})^2+(y^{1/3})^2=1 (x^{1/3}≧0,y^{1/3}≧0)　※X^{2/3}=(X^{1/3})^2は指数法則，XとX^{1/3}の符号は一致

と書くことができます．するとさっきのx,yがx^{1/3},y^{1/3}に置き換わった形ですね．だから，

x^{1/3}=cost,y^{1/3}=sint(0≦t≦π/2)

とおくことができ，これは

x=cos^3t,y=sin^3t(0≦t≦π/2)

となるわけです．

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.1

ereserve67

(1)x=cos^3t,y=sin^3tとおくと，0≦t≦π/2．

(dx/dt)^2+(dy/dt)^2={3cos^2t(-sint)}^2+(3sin^2tcost)^2=9(cos^4tsin^2t+sin^4tcos^2t)=3cos^2tsin^2t

√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=√3costsint=(√3/2)sin2t

∫_0^{π/2}√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt=∫_0^{π/2}(√3/2)sin2tdt=(√3/2)∫_0^{π/2}sin2tdt=(√3/2)[-cos2t/2]_0^{π/2}=(√3/2)(1+1)/2=√3/2（答）

(2)dy/dx=(3/2)x^{1/2}

∫_0^4√{1+(dy/dx)^2}dx=∫_0^4√{1+(9/4)x}dx=(3/2)∫_0^4√(x+4/9)dx=(3/2)[(2/3)(x+4/9)^{3/2}]_0^4=(4+4/9)^{3/2}-(4/9)^{3/2}=(2√10/3)^3-(2/3)^3=(80√10-8)/27=8(10√10-1)/27(答)

お礼

回答ありがとうございます。申しわけないんですが、なぜ『x=cos^3t,y=sin^3tとおくと，0≦t≦π/2』とやるのか教えてください。