積分の応用のところなのですが・・・

質問

積分の応用で曲線の長さを求めるものがあるのです。公式で「曲線y＝f(x)で(a≦x≦b）のとき∫√1+(y')^2 dx」というのがあって、それを使って
y＝1/3x^3+1/4x　(1≦x≦3)　＊ただしa＞0
の曲線の長さを求める問題があるのですが、どうも答えどうりになりません。私が思うに、公式ではyを微分してそれを二乗しているのですが、そこのところがうまくやれてないのだと思います。y＝1/3x^3+1/4x　（さんぶんのいち、xの三乗+よんエックスぶんのいち）の微分は、よんエックスぶんのいちを(4x）のマイナス一乗と考えて、エックス二乗-よん、という風に考えたのですがこれがいけなかったのでしょうか？答えは53/6になるようです。
もう解きかたがきになって仕方ありません!!どうして間違えてしまうのでしょう!?教えてください!!
読みづらい文章ですいません。。。

回答No.2

mcurry · ベストアンサー

はじめまして。

問題の式はおそらく
y=1/3(x^3)+1/(4x)
だと思います
これを微分すると
y'=x^2-1/(4x^2)
になります。
よって
1+(y')^2=1+{x^2-1/(4x^2)}^2
=1+x^4-1/2+1/(16x^4)
=x^4+1/2+1/(16x^4)
={x^2+1/(4x^2)}^2

{1+(y')^2}^(1/2)=x^2+1/(4x^2)

これを積分すればよい
∫{x^2+1/(4x^2)}dx

=[1/3(x^3)-1/(4x)]

={1/3(3^3)-1/12}-{1/3-1/4}

=9-1/12-1/12=9-1/6=53/6

以上です

お礼

早速の回答ありがとうございます!!
そしてすばらしい回答本当に感謝しています!!
やっと謎が解けました！！予想通り1/(4x) のところが間違っていたみたいですね。本当に、納得しました。
本当にありがとうございました！！

回答No.1

kony0

y=(1/3)x^3+1/(4x) = (1/3)x^3 + (1/4)x^(-1)
y'=x^2 - (1/4)x^(-2)

[1/(4x)]' = [(4x)^(-1)]' = -(4x)^(-2)*4 = -1/(4x^2) = (-1/4)x^(-2)

こんな感じですか。ちなみに、√{1+(y')^2} もきれいに√がはがれますね^^
√{1+(y')^2} = x^2 + (1/4)x^(-2)
になればOKでしょう。

お礼

早速の回答本当にありがとうございます!!
やっぱり1/4xのところでしたね・・・。1/4だけでカッコでくくってしまうのですね！そして-1の微分は-2ですよね(￣Д￣;;
そこでまた質問ですいません。。。
√のはがし方をもしよければ教えてくださいΣ(゜□゜;)ガーン
おバカですいません。。。二乗をとっちゃうだけですか？？というとy=x-1/4xでしょうか？？