- 締切済み
正則関数f:D→Cの虚部が
正則関数f:D→Cの虚部がv(x,y)=2xy+2yのとき、f(z)を求めよ 初心者なので、できたら詳しく解説してください お願いします
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数2
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
みんなの回答
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>z^2 +2z +C となりました！ >これが正答ということですか？ おそらく。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
x-yi を w と置くと、 x = Re z = (z + w)/2, y = Im z = (z - w)/(2i) と表せる。 (この w を「x の共役複素数」という) f(z) を x,y で表した式ヘ、上の２式を代入すると、 w はウマく消えて、f(z) が z の式で表せる。 この「w がウマく消える」という条件を 偏微分を使って表したのが、コーシー・リーマンの条件 だという訳。
お礼
分かりました！ ありがとうございました
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>f(z)=(x^2 + 2x - y^2 + Ｃ) + i(2xy+2y)と分かりましたが、これをzだけが変数にするということですか？ 左様。ヒント。 (x^2 + i2xy - y^2) + 2(x + iy) + C と整列させてみると？
補足
(x^2 + i2xy - y^2) + 2(x + iy) + C =(x + iy)^2 + 2(x + iy) + C =z^2 +2z +C となりました！ これが正答ということですか？
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>z表示とは何ですか？ {x, y, i} で出した関数を、z (= x +iy) の関数に書き直すこと。 それを求められているのだと思いますが。
補足
f(z)=(x^2 + 2x - y^2 + Ｃ) + i(2xy+2y)と分かりましたが、これをzだけが変数にするということですか？
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
> u(x,y) = x^2+2x+y^2+Ｃだから f(z)=x^2+2x+y^2+Ｃ+i(2xy+2y) で良いのでしょうか？ いい線。 ただし、Cauchy-Riemann の正負号に注意！ f(z) = x^2 + 2x - y^2 + i(2xy+2y) + C らしい。 これなら、z 表示も簡単。
補足
すみません ∂v/∂x = 2yで ∂u/∂y = -∂v/∂xなので ∂u/∂y = -2yでした 初等的ですみません、z表示とは何ですか？
- misumiss
- ベストアンサー率43% (24/55)
自分で解決できないのは, 勉強していないからでしょう。 ∂u/∂y = 2y, なんていってることからも, ふだんの計算練習不足が感じられます。 f(z) は z の関数なのに, x や y を用いた式で表して正解って考えているのも問題外。
補足
すみません、問題文に書いた通り初心者なので、知識も経験もありません また∂u/∂y = 2yでなく∂u/∂y = -2yでした 経験するために、知識を教えてください
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0#.E3.82.B3.E3.83.BC.E3.82.B7.E3.83.BC.E3.83.BB.E3.83.AA.E3.83.BC.E3.83.9E.E3.83.B3.E3.81.AE.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F f の実部を u とでも置いて、u が満たす微分方程式を導き、積分せよ。
補足
∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x を使うのでしょうか？ これによれば ∂u/∂x = 2x+2 ∂u/∂y = 2y たぶんu(x,y) = x^2+2x+y^2+Ｃだから f(z)=x^2+2x+y^2+Ｃ+i(2xy+2y) で良いのでしょうか？
関連するQ&A
- f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。
f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、微分可能性にはついては先ほど質問し解決しました。 今度は正則について確認です。 f(z)={√(x^2+y^2)}^2 =x^2+y^2 =u+iv で 実部uはx^2+y^2 虚部vは0 u_x = 2x ≠ v_y =0 v_x = 0 ≠ u_y = 2y これらが一致しないので正則ではない …という答えでいいですか？ 間違っていたら訂正をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この関数が正則なのでしょうか？導関数も教えてください。
この関数が正則なのでしょうか？導関数も教えてください。 (1) ｆ（ｚ）＝ｅ^x(cosＹ+ｉsinＹ) (2) ｆ（Ｚ）＝e^x(cosY-ｉsinY) ちょっとした解説付だと理解に助かります。どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の複素関数の解き方,解答を教えてください
次の複素関数の解き方,解答を教えてください 正則関数f(z)の実部をu = u(x, y),虚部をv = v(x, y)とおくとき(2u － v) + i(u + 2v) が正則かどうかコーシー・リーマンの方程式を利用して調べよ。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(z)=u(x,y)+iv(x,y)はz=x+iyの正則関数とする、
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)はz=x+iyの正則関数とする、u(x,y)=e^-x(xcosy+ysiny)のとき、 f(z)をｚの関数で表しなさい、ｖ（0,0)=0とする zの関数って、どう変換すればいいですか。 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則関数に関する問題で・・・
次の問題がよくわからないので良かったら教えてください。 Ｑ,ｆ（ｚ）＝（e＾iｚ―e＾-iｚ）/２i :z=x+iyとする。 1. u(x,y)=Re(f(z)), v(x,y)=Im(f(z))を求めよ。 2.コーシー・リーマンの方程式を用いてｆ（ｚ）が正則となる領域を求めよ。 １のほうは複素数になっちゃうんですが自信がないのでどうかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則性について。
--------------------------------------------------- f(z)=1/(bar(z)) z = x + iy とし z ≠ 0においてf(z)が正則であるかどうか判定せよ。 また、 Ｒ>０に対して複素積分 ∫_[|z|=R]f(z)dz の値を求めよ --------------------------------------------------- という問題なのですが、 u=x/x^2＋y^2, v=u/x^2＋y^2とすると、 ∂u/∂x = y^2-x^2/(x^2＋y^2)^2 ∂v/∂y = x^2-y^2/(x^2＋y^2)^2 となり、コーシー・リーマンの判定式を用いると、 ∂u/∂x≠∂v/∂yとなり、条件を満たさないので、 f(z)は正則ではないという結果が出ます。 f(z)が正則ではないのは、(bar(z))=0で特異点を持つためだと思うのですがこの問題の場合、z≠0で除外されていますよね？ この場合、正則なのでしょうか？ おそらく、特異点の捉え方がよくわかっていないのだと思います。 また、 次の問題はコーシーの積分公式で求めると思うのですが、 この公式は、bar(z)の場合にもそのまま当てはめてよいのでしょうか？ ご指導ご鞭撻の程、宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
分かりました ありがとうございました