数学B 総合問題

質問

途中迄とけましたが、最後の問題がわかりません。
宜しくお願い致します。

関数f（x）を、f（x）=∫［x→0］（u^2-1）duで定める。
f（x）は、x= -1、極大値 2/3をとり、x=1で、極小値 -2/3をとる。
y=f（x）のグラフをCとする。C上の点P｛t、f（t）｝における
Cの接線Lと、Cの共有点のx座標は、t及び -2tである。
CとLが1点だけを共有するのはt=0のときである。
t≠ 0とし、CとLの2つの共有点のうちPと異なるものをQとする。点QにおけるCの接線をmとすると、mの傾きは、4t^2 -1である。直線Lとmのなす角をθ（0<θ<π/2）とすると、
1/tanθ= 1/3（4t^2+ 2/t^2 -5）である。

従って、相加平均と相乗平均の大小関係により、
t=□のとき、tanθは最大となり、θも最大となる。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

＞1/tanθ= 1/3（4t^2+ 2/t^2 -5）である。

＞従って、相加平均と相乗平均の大小関係により、
＞t=□のとき、tanθは最大となり、θも最大となる。

相加相乗平均
a>0,b>0のときa+b≧2√ab（等号成立はa=b）

これを使います。
t≠0,t^2>0だから、4t^2>0,2/t^2>0のとき相加相乗平均より、
4t^2+2/t^2≧2√4t^2*(2/t^2)=2*2√2=4√2（等号成立条件は4t^2=2/t^2、すなわちt=±1/2^(1/4)）
両辺に-5を加える。
4t^2+2/t^2-5≧4√2-5
両辺を1/3倍する。
1/3(4t^2+2/t^2-5)≧1/3(4√2-5)

1/3(4t^2+2/t^2-5)=1/tanθより、
1/tanθ≧1/3(4√2-5)
両辺の逆数をとると、
tanθ≦3/(4√2-5)　
等号が成立するときにtanθは最大値をとるから、上記の等号成立条件より、
t=±1/2^(1/4)・・・答え

お礼

大変わかりやすかったです。ありがとうございました。