関数の問題です。教えてください。

質問

aはa≧０を満たす定数であるとし、ｆ（ｘ）=-ｘ＾３/２+ax＾２とする。
曲線C；ｙ=ｆ（ｘ）とする。C上の点P（ｔ、ｆ（ｔ））におけるCの接線ｌの方程式を求めよ。
また、ｌと直線ｘ=１の交点を（１、ｇ（ｔ））とするとき、ｇ（ｔ）をｔ、aを用いて表せ。
そしてｔが０≦ｔ≦１の範囲を動くとき、（２）のｇ（ｔ）の最大値M(a）をaを用いて表せ。

考え方と解き方が分かりません。
詳しく教えてもらえると嬉しいです！

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞f(x)=-(1/2)x^3+ax^2なら、f'(x)=-(3/2)x^2+2ax
点Pにおける接線の傾斜f'(t)=-(3/2)t^2+2at・・・・・(1)
lをy=f'(t)x+Dとおくと、点P(t,f(t))を通るので、
f(t)=f'(t)t+DからD=f(t)-f'(t)t、よってlは
y=f'(t)x+f(t)-f'(t)t、f(t)=-(1/2)t^3+at^2及び(1)を代入、
Cの接線ｌの方程式：y={-(3/2)t^2+2at}x+t^3-at^2・・・答
ｌと直線ｘ=１の交点は、lの式にx=1を代入すると
y={-(3/2)t^2+2at}*1+t^3-at^2=t^3-(a+3/2)t^2+2atだから
交点は(1,t^3-(a+3/2)t^2+2at))となり、よって
g(t)=t^3-(a+3/2)t^2+2at・・・答
g'(t)=3t^2-(2a+3)t+2a=0を解くと、t=[2a+3±√{(2a+3)^2-4*3*2a}]/6
={2a+3±√(4a^2-12a+9)}/6={2a+3±(2a-3)}/6、t=1、t=2a/3から
g(t)はt=1とt=2a/3(≠1)で極値をとり、2a/3=1の時はt=1が変曲点となる。
よって0≦t≦1の範囲では
(ア)2a/3≧1すなわちa≧3/2のときg(t)はt=1で極大(変曲点の場合は最大)
となるので、M(a)=g(1)=1-(a+3/2)+2a=a-1/2
(イ)2a/3＜1すなわちa＜3/2のときg(t)はt=2a/3で極大となるので、
M(a)=g(2a/3)=8a^3/27-(a+3/2)(4a^2/9)+4a^2/3=(-4a^3+18a^2)/27
以上から
a≧3/2のときM(a)=a-1/2・・・答
a＜3/2のときM(a)=(-4a^3+18a^2)/27・・・答