一次方程式（どうか、馬鹿に説明してください）

質問

30代です。徹底的に数学を排除して大学までいったため、本当に数学がうんこです。
しかし、中学～数学1,2レベルにまで上げなくてはならない事態になりました
今回、この問題にぶちあたりました
（10＋x）×（10－2x）＝72
です。

解答には、
－2x二乗－10x＋100＝72
とあり、この後が問題なのですが・・・

どうして答えに導く数式が
x二乗＋5x－14＝0

となるのでしょうか

－2（x二乗＋5x＋14）＝0ではないのですか。

－2はどこにいってしまったのですか

－2を無視して（x＋7）（x－2）＝0
で、x＝－7、2になるのでしょうか

われながら馬鹿なことを聞いていると思われているのはわかりますが恥を忍んで質問させていただいております、
宜しくお願い致します。

回答No.8

suko22 · ベストアンサー

「x二乗」のことを以下「x^2」と書かさせていただきます。

(10+x)(10-2x)=72
このままではどうしようもないので展開して式を整理します。

100-20x+10x-2x^2=72
-2x^2-10x+28=0・・・(1)

この式の左辺は３つの項-2x^2,-10x,28から成り立っていることがわかります。
このそれぞれに共通する因数が2または-2であることがわかります。（ようは2か-2ですべての項が割れるということです。）

だから式を簡単にするために2または-2で割るわけですが、ここで普通はx^2の前の係数はプラスにしたほうが因数分解しやすいので、(1)式の場合には等式の性質を利用して-2で両辺を割ります。

すると、
x^2+5x-14=0（∵右辺のは0÷（-2）となり0となります。）

別の考え方も出来ます。質問者さんのように、
(1)式の左辺を共通因数-2でくくりだすという考え方です。こちらのほうが一般的のように思います。
-2(x^2+5x-14)=0・・・(2)

ここで等式の性質を利用して両辺を-2で割ると、
x^2+5x-14=0・・・(3)
となり、(x+7)(x-2)=0となります。

もちろん(2)式のまま因数分解できるところはしてそのまま結果を出すこともできます。
-2(x^2+5x-14)=0
-2(x+7)(x-2)=0・・・(4)
x=-7,2

ところで、
Ａ×Ｂ×Ｃ＝0・・・(5)
のとき、左辺が0になるにはＡ，Ｂ，Ｃのどれかが0になればよいことがわかると思います。
（例：0×2×1000＝0　ようは掛け算の中に一つでも0が入っていれば結果は0になります）
だから、(5)式が成り立つための条件は、
Ａ＝0またはＢ＝0またはＣ＝0となります

この性質を(4)式に用いると、
-2(x+7)(x-2)=0
-2×(x+7)×(x-2)=0
-2はゼロではないから、x+7=0またはx-2=0が成り立つ必要があります。
よって、(4)の解はx=-7またはx=2となります。

もう一度比べると
(3)式　(x+7)(x-2)=0→x+7=0またはx-2=0よりx=-7,2
(4)式 -2(x+7)(x-2)=0→x+7=0またはx-2=0よりx=-7,2
と結果は同じになります。

(3)式と(4)式の違いは等式の性質を利用して(4)式の両辺を-2で割って(3)式のようにすっきりした形にして因数分解して、解を出したということだけなので、やり方はどちらでもよいですが、一般には(3)式まで変形してから解を出します。

ちなみにここで等式の性質ということばを使っていましたが、ここでは以下のような意味で使っていました。

等式：ab=acのときaがゼロでないなら両辺をaで割りb=cと変形できる。
　　　（aがゼロでないとは、aがゼロだとaで割るとゼロで割ることになるからです。÷0というのは数学　　　　では計算できません。）
　　　例）5b=-5cという等式が成り立っているとき両辺を5で割ることができます。
　　　　　b=-c
もちろん両辺を-5でわってもかまいません。
　　　　　-b=c→これは両辺にこれまた等式の性質を使って（-1）をかけるとb=-cとなり上式と同じにな　　　　　りますから、b=-cも-b=cも同じことを表しています。

計算の感覚をつかんでもらうため長々説明しました。わかりにくかったら教科書とあわせて読んでみてください。ある程度感覚的にわかったら問題をたくさんといてなれるほうがいいかもしれません。
それからもう一度疑問に思っていることについて考え直すと理解が深まるかもしれません。

参考になれば幸いです。

お礼

おおおおおおお
等式の性質ということや
0で割れば0になるのだから・・ということ
いやいや長々説明なんてとんでもない
どれも納得のいくものでした
感覚的にわかったら・・・のコメントから察するに、
数学のできるひとは感覚が数的になっているものなのでしょうねえ・・・
完全文型の私は、文字で理解させていただけてとても参考になりました！

回答No.10

asuncion

＞一次方程式（どうか、

二次方程式が正しいです。念のため。

お礼

あはははは
・・・・・そうですそのレベルです（汗
ご指摘ありがとうございます

回答No.9

bgm38489

<<－2（x二乗＋5x＋14）＝0ではないのですか。
そうですよ。それでも、因数分解すれば、
-2(x+7)(x-2)=0
となりますね。あっ、-14っだった…
すると、この式を満たすには、x=-7,2となります。

別に、-2は無視しようがしまいが、同じことです。簡単な式にするために、無視しているだけなのです。

-2を無視しているように見えるのは、両辺を-2で割っているのです。
右辺の0を-2で割っても、0ですよね。

お礼

簡単な式にするために、自己都合で（笑）数字を消すことが出来る・・・
というのが不思議なんですよね
でも、－2が消えたいきさつはとてもよくわかりました。
ありがとうございました！

回答No.7

ninoue

別に難しい問題ではないので、一歩一歩注意して確認しながら解いていって下さい。

>（10＋x）×（10－2x）＝72
10*(10-2x) +x*(10-2x) = 72;
100-20x +10x -2x^2 = 72;
100 +(-20 +10)x -2x^2 = 72;

-2x^2 -10x +(100-72) = 0;
-2(x^2 +5x -14) = 0;
x^2 +5x -14 = 0;
(x+7)(x-2) = 0;

答:
x=-7 or x=2;

x=-7 を元の式に代入して検算

(10-7)*(10+14)=3*24==>72 ==右辺: OK

x=2 を元の式に代入して検算

(10+2)*(10-4)=12*6==>72 ==右辺: OK

以上の通りです。

なお数学の勉強に参考になりそうなサイトを次に集めていますので参考にして下さい。
http://okwave.jp/qa/q5653918.html
中学レベルから大学受験までの道のり

"数学のたまご" や "中学数学の基本問題" など数多くの例題や演習問題等を解いていってみてください。

お礼

今後の数学の勉強のためになるサイトのご紹介ありがとうございました！
解き方はなんとなくわかるけれど、なぜ－2がなくなるか？という問題など、おそらく超初歩的なものがすっこんと抜けているので、そういったものを補う手段とさせていただきます！

回答No.6

178-tall

>（10＋x）×（10－2x）＝72

元の算式の左辺は？
　-2x^2 -10x + 100
これが 72 になる、ということは、両辺から 72 を引き算すれば、
　-2x^2 -10x + 28 = 0　　　…(*)
つまり、
　-2(x^2 + 5x - 14) = 0　　　…(**)

>－2はどこにいってしまったのですか…

(*) つまり (**) の両辺を -2 で割り算したため、消え去りました。
　x^2 + 5x - 14 = 0

>－2を無視して（x＋7）（x－2）＝0　で、x＝－7、2になるのでしょうか…

無視せずとも、(*) にて「根公式」を利用すると、同じ零点 x = -7, 2 が得られます。お試しを。
余計な勘定をするとミスするかも、というかたはサッサと「根公式」へどうぞ。

お礼

消えた－2に言及してくださってありがとうございます
納得できました！

回答No.5

meteor222

全部、分配法則でカッコを外すとこうなりますよね？↓

100-20x+10x-２x二乗=72
んで、xを計算してしまい↓

100-10x-２x二乗=72
んで、72を左辺に移行します！（符号を変える）

100-10x-２x二乗-72=0
んで、計算すると↓

100-72-10x-２x二乗=0
28-10x-２x二乗=0
指数の大きい順に並び変えます！

-２x二乗-10x+28=0
全部に　-1/２　をかけると↓

x二乗+5x-14=0
となります！

答えは、↓
（x+7）（x-２）=0
x=-7,　２　ですね！（多分）

俺、文系だから数学の授業とってないんで、間違ってたらごめんなさい！

お礼

なんで－2をかけるんだろうという小学生のような疑問なのです
間違ってないです。ありがとうございました！

回答No.4

fuwa85

確かに消えたように思われますね。(^^)

実際は無視したのではなく、-2が邪魔なので両辺を-2で割っています。その結果
1(x二乗＋5x－14)=0
となり、1を省略して
x二乗＋5x－14=0
と表されています。

後は因数分解して
x=-7、2
となります。

お礼

－2についてシンプルに説明してくださってありがとうございました！
－2が消えたのは、「邪魔なので消した」ということなのですね。
そして、消した、というより、消せる、つまり
消しても支障ないということなのですね。
・・・理屈っぽい文系ですみません。
でもよくわかりました。ありがとうございました！

回答No.3

nezusuke

等式の性質を思い出してください。

　　　両辺に同じ数を足しても（引いても）、等式は成り立つ。
　　　　　　　Ａ＝Ｂ　ならば、　Ａ＋Ｃ＝Ａ＋Ｃ

　　　両辺に同じ数をかけても（割っても）、等式は成り立つ。
　　　　　　　Ａ＝Ｂ　ならば、　ＡＣ＝ＢＣ

両辺を－２で割っています。

お礼

等式の性質っていう言葉をはじめてききました。
本当です。
基礎の基礎が怖いのは古典だけじゃないんですね！
シンプルベストな回答ありがとうございました！

回答No.2

mayah1

両辺を－２で割れば消えます。というか、消すことができます。

・両辺を見比べて、両辺に同じ数字をかける（割る）
・必要に応じて、右辺のものを左辺に、左辺のものを右辺に持っていく
（右辺から左辺、左辺から右辺に持っていくと、符号が変わります）
ことで、式をなるべく簡単にして解くことになります。

お礼

両辺に同じ数字をかける、割るをすると、消すことができるんですね
それをするのは、式を簡単にしたいからなんですね
消える、と消すことが出来る、のニュアンスで、理解度が違うものですね。
文系馬鹿に響くかゆいところに手が届く回答ありがとうございました！

回答No.1

sanmatotama

－2（x二乗＋5x＋14）＝0でもx＝－7、2は成り立ちます。
0=0×(-2)だと考えてみていかがでしょうか?
すると、両辺で同じものをかけているから両辺を(-2)で割る事が出来ますよね?
－2（x二乗＋5x＋14）/(-2)=（x二乗＋5x＋14）,
0/(-2)=0ですから、
x二乗＋5x－14＝0となり、
（x＋7）（x－2）＝0からx＝－7、2が導かれているのです。
お役に立てましたでしょうか?

お礼

－2をなぜかけるのか
かけることで得られるメリットは・・・とか
そういう、「そういうものなんだ」と飲み込むようなところが気になってしまう
やっかいなたちでして・・・
でも、導き方はとてもよくわかりました
ありがとうございました！