- ベストアンサー
Σの計算
youngmanの回答
式を次のように変形して考えてみたらどうですか? Σ(k=1,n)1/k(k+2) =1/2Σ(k=1,n)(1/k - 1/k+2) =1/2((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/6) +…+(1/n-2 - 1/n)+(1/n-1 - 1/n+1)+(1/n - 1/n+2) =1/2((1/1-1/3) +(1/2-1/4) +(1/3-1/5) +(1/4-1/6) : : +(1/n-2 - 1/n) +(1/n-1 - 1/n+1) +(1/n - 1/n+2) =1/2(1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)) という風に1/3以降は互いに打ち消しあっていて、分母の大きい2項が残るのが分かりませんか?
関連するQ&A
- 格子点の個数とΣの計算について
x≧0 y≧0 y≦-x+n が示す領域内の格子点の個数を求める問題で 一般項(?)が -k+n+1 であると分かったのですが この後のΣの計算の仕方が分かりません。 -Σ[k=1,n]kが -n(n+1)/2 になるのは分かるのですが、 残りのn+1はどうなるんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学B 数列
次の数列の第k項と、初項から第n項までの和をもとめよ。 (1)1*n , 3*(n-1) , 5*(n-2) , ・・・ , (2n-3)*2 , (2n-1)*1 この問題のやり方は分かります。 先生が説明した通りにやれば答えだけはでます。 しかし、理屈が分かりません。 初項にnがない、たとえば 2 , 2+4 , 2+4+6 , ・・・ の場合 第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから 一般項=n/2(2+2n) です。 これをシグマを使って計算します。 しかし、数列自体にnが入っていると 一般項であるn項を求めようとしても、うまくいきません。(初項がn、公差が-1だから、一般項=n+(n-1)*(-1)=1となってしまい、一般項でなくなってしまう) 先生の説明は 1*n や 3*(n-1) の*のところで切って、それぞれの一般項をかける。つまり、 *の左側は1 , 3 , 5・・・の初項が1、公差が2の数列だから、2k-1 *の右側はn , (n-1) , (n-2) ・・・の初項がn、公差が-1の数列だから、n-k+1 これらをかけて、(2k-1)(n-k+1) = -2k^2+2kn+3k-n-1 これが一般項(k項) これをシグマで計算すると、初項からn項までの和になる。 です。 この問題のkとかnとかの役割というか、文字自体の意味もよくわかりません。 kというのはn個ある項のうちの何項目かという意味ですか? なぜ一般項どうしをかけたら、数列の一般項になるのですか? 文章まとまってなくてすみません。 この問題の文字の意味から最後まで細かく説明をお願いします。 分からなかった部分は捕捉します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学B 数列
次の数列の和を求めよ。 (1)1/1*4 , 1/4*7 , 1/7*10 , ・・・ 1/(3n-2)(3n+1) このような場合は、各項の分数を分けて 1/3(1-1/3) + 1/3(1/4-1/7) + ・・・ + 1/3{1/(3n-2)-1/(3n+1)} を計算すれば 最初の項と最後の項以外は全部消えていって、答えがでます。 これは最初の式の分母が積の形だったからですよね? 分母に和や差の形がある場合の問題、たとえば 1/1 , 1/1+2 , 1/1+2+3 , 1/1+2+3+4 , ・・・ のような形の数列の場合 一般項は、そのまま書けば「1/1+2+3+4+・・・+n」ですが、これは分母が和の形になっているので積の形に変形する」 つまり、一般項=2/n(n+1) にする という考え方でいいのでしょうか? また、1/√1+√3 , 1/√3+√5 , ・・・ のような分母にルートの和の形があるときも、分母を積の形にするために有理化する、という考え方でいいのでしょうか? この類の問題をみると、どれも「分母が積の形になっている」のでそう思い、どの問題もこのやり方でできたのですが、「考え方」としてあっているのか心配です。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2をかける意味がわからない
(A-B+C)*D=48 という問題で Dを設定しA+C-B=nとおいて(n=1,2,3,4,6,8,12,16,24,48、) あるDの値に関して、数は Σ[k=1,99](k)+Σ[k=100-n,99](k)-99 (最後のマイナス99は第一項と第二項の重複分n=1のときも成立させる為) と、ここまではわかりました。でもこの後 「「=2*Σ[k=1,99](k)-Σ[k=1,n-1](k)-Σ[k=1,99-n](k)-99 =2*(1/2)*99*100-(1/2)*(n-1)*n-(1/2)*(99-n)*(100-n)-99 =9801-(1/2)*(n-1)*n-(1/2*(99-n)*(100-n)」」 の「「 」」の部分がわかりません、まずなぜ2をかけているのか どうして=9801-(1/2)*(n-1)*n-(1/2*(99-n)*(100-n)に変形できるのか全然わかりません。恒等式なのなのでしょうか? このあと nを1から順に計算してみると 4950+5047+5142+5235+5415+5587+5907+6195+6675+7347=57500 となって、Σ[k=1,99](k)+Σ[k=100-n,99](k)-99をそのまま計算するのと9801-(1/2)*(n-1)*n-(1/2*(99-n)*(100-n)を計算するのとおなじななるのですが、どうやって最初の式から「「 」」の部分のの変形が出来るのか、又その意味を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (n^2+2n) * {(3n^2+n)/2}=?
(n^2+2n) * {(3n^2+n)/2}と言う計算なのですが、 左側の項は分母を/2にして、右側と合わせるのですか? こういう場合のやり方を忘れてしまって…
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
わかりました。 ありばとうございます。