偏微分

質問

偏微分を用いて、全微分をするとき

例えばx,y,zの時間に依存する変数からなる関数f(x,y,z)を時間で全微分する時、

df/dt=(df/dx)(dx/dt)+(df/dy)(dy/dt)+(df/dz)(dz/dt)

となると思うのですが、

仮に、x,を時間だけでなく、もう一つ時間に依存する関数n（t)を与えるとします、
つまり
X=x+n(t)

f(x) => f(X)=f(x+n(t))
になるとします。

その時、時間の全微分はどうなるのでしょうか？

f(x+n(t))はxとn(t)に依存しているので、f(x,n(t))と書いて

f(x+n(t))=f(x,n(t))
df(x+n(t))/dt=(df(x,nt)/dt)=(df/dx)(dx/dt)+(df/dn)(dn/dt)

としてもいいんでしょうか？

後どのような時、偏微分しても可能なのか教えて頂ければ幸いです。
どなたか分かる方よろしくお願いします。

回答No.6

eclipse2maven

>f(g(ε))=L(q+εp)
>g(ε)=q+εp

>として見れますから、

>df/dε=(dg/dε)*(df/dg)

fの引数は　gで　　いつでも変数をgとするのでしょうか？　偏微分は　関数で微分するのではないですよね、こうかくのであれば、gをfの引数としてみてるので　fは　f(x) とかくのではなく　f(g)としてるわけですね。
なんか、合成関数と混乱しませんか？　

fの引数をxとしてf(x) と思うなら

f(g(ε))=L(q+εp)
g(ε)=q+εp

として見れますから、

df/dε=(dg/dε)*(df/dx)
　　　　　　　　　　＾

になります。このxをqで代用して、　書いているのが　wiki の式です　つまり　最初から　xではなく、qが引数で、本当は　q+εp　は　q_0+εp とすべきですが　あとで　ε　を０にするので　q_0だけ残るのですが、煩雑なのでさいしょから　省いたというべきでしょうか。　何を求めたいか？　そこに関係してくるんでは？

お礼

回答ありがとうございます。

合成関数の微分がチェーンルールで、
f(g(ε))=L(q+εp)
g(ε)=q+εp

df/dε=(dg/dε)*(df/dg)

になるのは分かります。

ですが、
df/dε=(dg/dε)*(df/dx)

に何故なるのでしょうか。。？

理解が足りず本当に申し訳ありません。。

＞こうかくのであれば、gをfの引数としてみてるので　fは　f(x) とかくのではなく　f(g)としてるわけですね。

この言葉通りだと思います。これがチェーンルールなのでは無いのでしょうか。。。

ですが、

＞fの引数をxとしてf(x) と思うなら

とありますが、行き成りxという新しい変数が出てきて、これがqとして代入出来ると言うのが、どうしても理解出来ません。

上の通り、”f(x) とかくのではなく　f(g)としてるわけ”なので、
勝手にfは新しい変数xに依存している、と書けるのは何故でしょうか。。

xがもしqと書けるなら、

df/dε=(dg/dε)*(df/dg)=(dg/dε)*(df/dq)

ということになってしまいます。

でもgはqではありません。

g=q+εp
であって
qではありません。

論点が堂々巡りみたいになってしまいますが、

やはり、ε=0　を勿論微分する前に代入すれば　g=qで

df/dε=(dg/dε)*(df/dg)=(dg/dε)*(df/dq)

となるのは分かります。

ですが、微分した後に、代入しなければいけないので、

(df/dg)=(df/dq)

に必ずなるという保証は無いのではないでしょうか。。

恐らく私は根本的な事が理解出来ていないので、同じ質問を何回もしてしまい本当に申し訳ないのですが、

結局のところ

df/dε=(dg/dε)*(df/dq)　とするには

チェーンルールが行われているのでしょうか？
偏微分がなされているのでしょうか？

もし、チェーンルールならば、上に述べたように
(df/dg)=(df/dq)
になる保証はどこから来るのでしょうか？

補足

>最初から　xではなく、qが引数で、本当は　q+εp　は　q_0+εp とすべきですが　あとで　ε　を０にするので　q_0だけ残るのですが、

とありますが、

これは
g=q+εp

ではなく

q=q_o+εp

と書いている、と言う事ですか？

つまり、

df/dε=(dg/dε)*(df/dg)

のgをただ単にqという文字で書いているだけ、ということでしょうか？

なので、df/dε=(dg/dε)*(df/dg)のqは

q＋εp

のqではなく

全く違うqと言う事でしょうか？

回答No.5

eclipse2maven

L(t,q+εp, q'+εp')

を　εの関数と思って微分すると

pL2(t,q+εp, q'+εp')+P'L3(t,q+εp, q'+εp')

これは　関数L(t,q,q'）と　εーー＞（ t,q+εp, q'+εp') の合成関数と見て　chain rule 使っただけです。（L2はq での偏微分　L3はq'での偏微分）

ε=0とおくと

pL2(t,q, q')+p'L3(t,q, q')

となって（２）の計算が出来ました。

多分、紛らわしいのはq'ですが　もともと物理の言葉で言えばPhase Space（位相空間）で運動量か速度のパラメータと座標のパラメータと時間が出てくるので、こういう書き方をしてるわけですが、単なる記号でx,y,zでやってもいいわけです。ただしｔは値をとめて、εだけの関数おもって、合成関数の微分をいています。数学の言葉で言うと、接束（Tangent Bundel),つまり接空間を同時に考えて作られる多様体上の関数がL　εはその接束への写像になってると思って、微分したわけです。

古典力学のLでは変分原理は数学でいえるけど、場の量子論になると、なんか怪しくなります。本来はその場合は、フレッシェ微分とか関数解析の話になって、難しい。物理屋さんは、自由にやってるような。。。　超対称性とか入ったゲージ場とかになると、私にはわからない。まあ経路積分が正当化できないから、物理の数学と割り切らざるえない。。。。(^^;。

お礼

回答ありがとうございます。

>pL2(t,q+εp, q'+εp')+P'L3(t,q+εp, q'+εp')
>これは　関数L(t,q,q'）と　εーー＞（ t,q+εp, q'+εp') の合成関数と見て　chain rule 使っただけです。（L2はq での偏微分　L3はq'での偏微分）

なのですが、
εーー＞（ t,q+εp, q'+εp')
とはどういう意味なのでしょうか？

後、何故εの関数として見てるのに、qで偏微分していいのでしょうか。。？

というのも、チェーンルールは確か、
f(g(x))という合成関数があるとき、
u=g(x)としたときに、

df/du=f'
dg/dx=g'

と置くと

df/dx=g'*f'　と書けるというようなものだと記憶しています。

例えば、q＋εpに依存する関数
L(q+εp)
があって、これをεに対して微分したい時、
上の例に従うと

f(g(ε))=L(q+εp)
g(ε)=q+εp

として見れますから、

df/dε=(dg/dε)*(df/dg)

となるはずです。

つまり、回答者様のL2に当たるところは、df/dgになるはずで、
g＝q+εp
ですから、df/dqに何故していいのかが、よくまだ分かりません。

無論、微分する”前”にε＝0を代入すれば、

g=q+0p=q

ですから、df/dqとしてもなんの疑問も起こらないのですが、
微分した後に、ε＝0を代入しなければいけないので、それは許されません。

つまり、

df/dg=df/dqになる保証はどこにあるのか。。

恐らく、回答者様の

>関数L(t,q,q'）と　εーー＞（ t,q+εp, q'+εp') の合成関数と見て

にその答えが、あるようなのですが、もう少し詳しく説明して頂けると幸いです。

回答No.4

alice_44

いいえ、ちゃんと微分してから代入していますよ。
η=x+εy に ε=0 を代入するというのは、
要するに、η に x を代入するということです。
∂L(η)/∂η の η に (微分後に) x を
代入したら、∂L(x)/∂x になるでしょう？

お礼

回答ありがとうございます。

何度も申し訳ありません。

>η=x+εy に ε=0 を代入するというのは、
>要するに、η に x を代入するということです。

ですが、
何故、
η=x+εy に ε=0 を代入することと、η に x を代入するということが、同じ行為なのか
もう少し詳しく説明していただけませんか？

もう一度例に戻って

f(ε)=εy
というのがあり、

∂f(ε)/∂ε、微分後ε＝０を求めたいとき、
もし微分後にεと
ε＝０の時のf(ε),（これをxとします)
があり、
∂f(ε)/∂εの微分後が∂f(x)/∂x
で表せるのなら、
勿論
x＝0*y=0なので、

∂f(0)/∂0

と訳のわからないことになってしまう気がします。

微分に関して殆ど勉強をしたことがないので、無茶苦茶を言っていると思いますが、
分かりやすく教えて頂けると幸いです。

回答No.3

alice_44

参照先のWikipediaでは、そういう説明のしかたはしていないようですが…
∂L/∂x の L が L(x) なのか L(x+εy) なのか、明示しない書きかたに
なっている点は、不用意ですがね。物理っぽいというか。

しかし、∂L(x)/∂x の値と ∂L(η)/∂η, η=x+εy の値は、
ε=0 のとき、結果的に一致しますから、メクジラを立てることもない。

それよりも、貴方が、ひとつの文章中で x を
スカラーに使ったり( x,y,z )、ベクトルに使ったり( X=x+n ) している
ことのほうが、よほど重篤です。

お礼

回答ありがとうございます。

>しかし、∂L(x)/∂x の値と ∂L(η)/∂η, η=x+εy の値は、
>ε=0 のとき、結果的に一致しますから、メクジラを立てることもない。

ですが、何故そう言えるのでしょうか？
恐らくこれが、私の疑問の核心を付いているところだと思うのですが、
仮に、
f(ε)=εy
という関数があって、

df(ε)/dε=y
ε=0の時、df/dε=y

ですが、

最初にε＝０を代入して
df/dεを求めると勿論０になります。

つまり、df/dεは、微分された後にε＝０を代入しないといけない、はずです。

ですが、

η=x+εy

∂L(η)/∂ε＝（∂L(η)/∂ε)*∂η/∂ε=(∂L(x)/∂x)*∂η/∂ε

とするというのは、所謂微分する”前”にε＝０を代入している気がします。
つまり、上の例からしても、この微分の仕方はあっているのでしょうか？
それとも、根本的に何か私が勘違いをしているのでしょうか。。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>df/dt=(df/dx)(dx/dt)+(df/dy)(dy/dt)+(df/dz)(dz/dt)

これは単なる時間微分ですね。正確には F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) として

dF/dt = (df/dx)(dx/dt)+(df/dy)(dy/dt)+(df/dz)(dz/dt)

これは単純な合成関数の微分です。

物理とかでは名前を変えずにやっちゃいますが、変えたほうが頭がすっきりするでしょう。

>f(x+n(t))=f(x,n(t))
>df(x+n(t))/dt=(df(x,nt)/dt)=(df/dx)(dx/dt)+(df/dn)(dn/dt)

独立変数の数が違うのに同じ関数名を使うのは大胆すぎると思います。
これじゃ何を偏微分してるかわからないですよね。

f(x+n(t)) を素直に合成関数として微分すべきです。

お礼

回答ありがとうございます。

全くのご指摘ありがとうございます。
合成関数の微分と偏微分をごちゃ混ぜにしてました。
下にも書いたのですが、

このオイラー・ラグランジュの方程式のページの、一番最後の項　（導入)　で、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …

L（x)というxに依存する関数があって
もう一つxに少しの摂動を与えたx+εyという違う変数に依存するL(x+εy)という関数があるとします。

[L(x+εy)-L(x)]をεで微分した時に、ε＝０の時、微分が０になるとします。
そこで実際に微分をしてみると

d/dε[L(x+εy)-L(x)]=(dL/dx)*y

と合成関数の微分によりなる、と書いてあるのですが、

チェーンルールで考えたら

η=x+εyとして

d/dε[L(x+εy)-L(x)]=d/dε[L(η)-L(x)]＝(dL/dη)(dη/dε)=(dL/dη)*y

となり、(dL/dx)*yとはならないはずです。

これは、何故そうなるのでしょうか？
数学的にこれは正しいのでしょうか？

違う質問になっていまい申し訳ありません。。。

補足

申し訳ありません。
リンクが上手くいってないみたいなのでもう一度貼らさせて頂きます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

回答No.1

eclipse2maven

>偏微分を用いて、全微分をするとき

意味不明です。　　多変数を考える際は偏微分だけ考えた方が、全微分を考えない方がよいと思います。質問者の方が物理とかで、物理数学ならば、そういう発想はあるのかもしれませんが、変分原理とか関わらない限り、普通数学では、全微分という概念は使わない。むしろ　微分形式として扱うのが普通だとおもいます。

それは、偏微分をきちんと理解されてからの話なので、いま全微分を持ち出すと混乱します。

質問の件はすべて、合成関数の微分法、いわゆる　チェンルールで考えればすむことです

fが　x、y、zを変数とする関数で、変数が　別の変数に依存するのなら　合成感数として考えられます。

お礼

回答ありがとうございます。

回答者様の仰る通り、偏微分の理解すら曖昧なので、意味不明な質問になってしまい申し訳ありません。
物理を学ぶ過程で、なんとなく偏微分とはこういうものなのだと思っていたのですが、
チェーンルールですか。。

本来の質問と少し違うのですが、
このオイラー・ラグランジュの方程式のページの、一番最後の項　（導入)　で、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

この上のページの式を簡略化すると、
Lという関数があって
[L(x+εy)-L(x)]をεで微分した時に、ε＝０の時、微分が０になる時

d/dε[L(x+εy)-L(x)]=(dL/dx)*y

と合成関数の微分によりなると書いてあるのですが、

普通にチェーンルールで考えたら

η=x+εyとして

d/dε[L(x+εy)-L(x)]=d/dε[L(η)-L(x)]＝(dL/dη)(dη/dε)=(dL/dη)*y

となり、(dL/dx)*yとはならないはずです。

なのに何故か、このページに限らずほとんどの物理書は同じように書かれているので、それが何故かわからず、
偏微分に関係しているのかと思い、今回質問させて頂いたのですが、
この上の
(dL/dη)*y　が(dL/dx)*yとしていい数学的な理由というのはあるのでしょうか？
それか、これは物理のみ適応される近似法みたいなものなのでしょうか？