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大学の力学の問題を教えてください
Quarksの回答
- Quarks
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>高校の物理の考え方でも解けるでしょうか？ 今の高校では、慣性モーメントや剛体の回転の運動エネルギーは習っていないはずですから、その意味では解けません。でも、その意味を付記するなら、解ける問題の範囲です。 >微分積分などを使わなければ解けないのでしょうか？ 以下に解を載せますように、明示的には微積は使わなくても解けます。ただ、その根拠を遡れば、微積は不可避になります。 この場合の運動エネルギーは、 （１）並進の運動エネルギー＝重心(実質的には球の中心が重心ですね)の運動の運動エネルギー （２）回転の運動エネルギー＝重心の周りの回転の運動エネルギー の２つの和になります。 （１）重心が床に対して移動する速さをｖとすると、この並進運動の運動エネルギーは (1/2)ｍ・ｖ^2 （２）の運動エネルギー＝(1/2)Ｉ・ω^2 ※ です。ωは重心の周りの回転の角速度です。 ※ 高校では、慣性モーメント Ｉ はもちろん、回転の運動エネルギーも習わないです。（２）はだから、高校生対象なら、このように表せるとしなさい、と断る必要があるでしょう。 さて、重心から見た、球の表面の回転の速さｕは ｕ＝ａ・ω です。 Ｉ＝(2/5)ｍ・ａ^2 でしたから（２）の運動エネルギーは (1/2)Ｉ・ω^2＝(1/2)・((2/5)ｍ・ａ^2)・ω^2 ＝(1/5)ｍ・(ａ・ω)^2 ＝(1/5)ｍ・ｕ^2 となります。 ａは消えてしまいました。あとはｕがａに依存しない量であることを示せば良いわけです。 ところで、床面と滑らずに回転しているということは、球の表面の速さは、重心から見た床面の速さと同じだということです。そしてこのことを、床との接点から見ると、球の重心が、 ｕ＝ａ・ω で回転しているように見えるということです。 重心は床から一定の距離を保っているのですから、球の重心が、ｕ＝ａ・ω で回転している、ということは、実は球の重心の、床と平行な方向への速さが ｕ＝ａ・ω であることを意味しています。 何のことはない、 ｖ＝ｕ になっているわけです。 こうして、球の運動エネルギーは (1/2)ｍ・ｖ^2＋(1/5)ｍ・ｕ^2 ＝(1/2)ｍ・ｖ^2＋(1/5)ｍ・ｖ^2 ＝(7/10)ｍ・ｖ^2 となって、ｖには依存しますが、半径ａには依存しないことがわかりました。
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詳しい説明ありがとうございます。 >球の表面の速さは、重心から見た床面の速さと同じだということです。そしてこのことを、床との接点から見ると、球の重心が、 ｕ＝ａ・ω で回転しているように見えるということです。 の床の接点から見ると重心がuの速さで回転しているというところが ピンとこないのですがどのようなことなのでしょうか？ たぶん私が力学をわかってないからだと思いますが。。 よろしくお願いします。