ラプラス逆変換（二次遅れ要素を一次遅れ要素に近似）

質問

はじめまして。

現在、トランジスタの蓄積時間に関する勉強をしているのですが
下記のようなラプラス逆変換が出てきて導出出来ずに困っています。

どなたか、ヒントだけでも結構ですのでご教示頂けるとありがたいです。

数式のS及びt以外は全て定数です。

S関数
Δicr(S)=-{αf0*WF(IB1+IB2)(S+WR)}/[S*{S^2+(WF+WR)S+(1-αf0*αr0)WF*WR}]

ここで
[(1-αf0*αr0)WF*WR]/[(WF+WR)^2]<<1
とすると

t関数
Δicr(t)=-[αf0(IB1+IB2)/(1-αf0*αr0)]*[1-exp{-((1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))*t]

回答No.3

178-tall

>[(1-αf0*αr0)WF*WR]/[(WF+WR)^2]<<1
　　↑
この意味を了解できてませんでした。

S 関数の (近似) 主要部
　(S+WR)/[S{S + (WF+WR)}{S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)}]
を見るかぎり、
　A/S + B/{S+(WF+WR)} + C/{S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)}
と「過渡項」が三つあるはずなので、首をかしげてました。

どうやら、最も遅くまで尾を引く、
　C/{S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)}
の t 関数へ初期条件を入れた、
Δicr(t)=-[αf0(IB1+IB2)/(1-αf0*αr0)]*[1-exp{-((1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))*t]
が「眼玉」だったようで…。

回答No.2

178-tall

さしあたり、

分母の近似式
　S^2+(WF+WR)S+(1-αf0*αr0)WF*WR ≒ {S + (WF+WR)}{S + (1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)}
のうち、最後の項
　{S + (1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)}
の t 関数を抜書きした

としか見えませんね。

お礼

回答ありがとうございます。

もう一度、よく考えてみたら導出できました。

まず、
S=-(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)
として分母の
S^2 + (WF+WR)S + (1-αf0*αr0)WF*WR
に代入すると
S^2 + (WF+WR)S + (1-αf0*αr0)WF*WR≒0
と近似できます。
---ここでの近似の考え方---
仮に
(1-αf0*αr0)WF*WR=1
(WF+WR)^2=10
だとすると
[(1-αf0*αr0)^2*(WF*WR)^2]/(WF+WR)^2<<1
なので、0として考える。
---ここでの近似の考え方終わり---
よって
S=-(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)
の場合に
S^2 + (WF+WR)S + (1-αf0*αr0)WF*WR
と
S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)
は等価と考えることが出来ます。

よって
S=0の場合には
Δicr(S)=-{αf0*WF(IB1+IB2)(S+WR)}/[S*{S^2+(WF+WR)S+(1-αf0*αr0)WF*WR}]
と置いて留数定理を使いラプラス逆変換を行い

S=-(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)の場合には
Δicr(S)=-{αf0*WF(IB1+IB2)(S+WR)}/[S*{S^2+(WF+WR)S+(1-αf0*αr0)WF*WR}]
を
Δicr(S)=-{αf0*WF(IB1+IB2)(S+WR)}/[(S*(S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))
)*WF(WF+WR)(S+WR)]
と置いて
---ここでの近似---
S=-(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR)の場合には
(S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))=0なので
(S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))=(S+(1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))*WF(WF+WR)(S+WR)]=0
---ここでの近似の考え方終わり---
S=0の留数の係数と同じになるように留数定理を使いラプラス逆変換を行うと
t関数
Δicr(t)=-[αf0(IB1+IB2)/(1-αf0*αr0)]*[1-exp{-((1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))*t]
が導出出来ました。

お手数お掛けして申し訳ございませんでした。

回答No.1

178-tall

提示された s 関数だと、うまく導出できないのかな。

感触としては、
>[(1-αf0*αr0)WF*WR]/[(WF+WR)^2]<<1
により、分母は
　{s^2 + (WF+WR)s + (1-αf0*αr0)WF*WR} ≒ s(s+WF+WR)
と近似でき、もしも (S+WR)*WFs が分子にあれば、s 関数が
　(S+WR)*WFs/s(s+WF+WR) = (S+WR)*WF/(s+WF+WR) = WF*{1 - WF/(s+WF+WR)}
の「形式」になるけど、これまた微妙に異なる。

さて？

お礼

早速の回答、ありがとうございます。

分母の
s^2 + (WF+WR)s + (1-αf0*αr0)WF*WR
を部分分数に変形して逆ラプラス変換した後のeの指数が
{-((1-αf0*αr0)WF*WR/(WF+WR))*t}
になるのがどうしても理解できません。

どこで減衰項を考慮して一次式に近似したかの判らないのです・・・。