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連続の証明
x^2がRで連続であることをしるせ。という問題です。 ∀a∈Rに対して、x^2がa連続であること、つまり ∀ε>0,∃δ>0,|x-a|<δ⇒|x~2 - a^2|<εをいえばよい、 |x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|…(*) (*)から先の不等式の変形がわかりません。どなたか教えてください。
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f(x)=x^3がＲで連続であることの証明は ∀y∈Rに対して、∀ε>0,∃δ>0,|x-y|<δ⇒|x^3 - y^3|<εをいえばよい ので、証明は （証明） δ = min{ε/(2|y|+1)^2，1} とおき、|x-y|<δとすれば、 |x^3-y^3|=|(x-y)|*|(x^2+xy+y^2)|≦|(x-y)|*(|x^2|+|xy|+|y^2|) ＜δ*(|x|+|y|)^2＜δ*(|y+δ|+|y|)^2≦δ*(|2y|+δ)^2 ≦δ*(|2y|+1)^2 （δ≦1より） ≦ε （δ≦ε/(2|y|+1)^2より）■ でおそらくできていると思うのですが、f^-1:fの逆関数がＲで連続である ことの証明がうまくいきません。 y=f(x)とおくと、f(x)=x^3から、f^-1(y)=x=y^1/3 (yの３分の１乗)となり、 ∀z∈Rに対して |f^-1(y)-f^-1(z)|=|y^1/3-z^1/3| …(*) (*)から先の変形がうまくいきません。どなたか、わかる方、 お教えください。
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お礼
どうも、ありがとうございまあした。もし、ε－δ論法を学ぶのに、いい本があったら教えてください。