数学IIIの問題です

質問

aを正の定数とする。２つの曲線y=asinx,y=-(sinx)^2/aで囲まれた部分の面積をS(a)とする。ただし、0≦x≦πとする。

(1)S(a)を求めよ。

(2S(a)の最小値を求めよ。

問題集には略解しかなくて・・・

ちなみに答えは（１）S(a)=2a+π/2a (2)a=（√π）/2のとき最小値2πです。

回答No.3

info22_

(1) a>0,0≦x≦πより
S(a)=∫[0,π] (a sin(x)+(1/a)(sin(x))^2)dx
=a∫[0,π] sin(x) dx +(1/a)∫[0,π] (sin(x))^2)dx
=a [-cos(x)][0,π] +(1/a)∫[0,π] (1/2)(1-cos(2x))dx
cos(2x)の周期はπなので区間[0,π]での積分は0となるから
=2a +(1/a)(1/2)π
=2a+(π/(2a))

(2)
a>0、相加平均・相乗平均の関係より
S(a)≧2√{(2a)(π/(2a))}=2√π
等号は　2a=π/(2a)　のとき、つまり a=(√π)/2のとき成立。
以上から　a=(√π)/2のとき　S(a)の最小値　2√π

>答えは（１）S(a)=2a+π/2a (2)a=（√π）/2のとき最小値2πです。
(1) S(a)=2a +(π/(2a)) の答えなら合っています。
(2) 答えは間違っています。正しい答えは
「a=(√π)/2のとき　S(a)の最小値　2√π」です。

回答No.2

yyssaa

答えの(2)の最小値が違っています。

(1)S(a)を求めよ。
＞∫[0→π]asinxdx=-a(cosx)[0→π]=-a(-1-1)=2a
cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=(1-sin^2x)-sin^2x
=1-2sin^2xよりsin^2x=(1-cos2x)/2、よって
∫[0→π](1/a)(sinx)^2dx=(1/2a)∫[0→π](1-cos2x)dx
=(1/2a)∫[0→π]1dx-(1/2a)∫[0→π]cos2xdx
=(1/2a)(x)[0→π]-(1/2a)(1/2)sin2x[0→π]
=π/2a
よって、S(a)=2a+π/2a
(2)S(a)の最小値を求めよ。
＞S'=2-π/2a^2
S''=π/a^3
よってS(a)のグラフはは下に凸(∪)。
S'=0、a＞0からa=(√π)/2でS(a)は極小(最小)となるので、
S(a)の最小値はS{(√π)/2}=√π+π/√π=2√π

回答No.1

Willyt

S=∫｛sinx+(sinx)^2/a}dx

で計算できます。上式で (sinx)^2=(1-cos2x)/2 ですから、これを代入すると簡単に積分できますね。なお、積分範囲０とπの間です。