高校入試 図形問題

質問

四角形ABCDがあり、その面積は165である。
辺AD、BCの3等分点を K、L および M、N とする。

△ABKと△CDNの面積の和を求めよ。

[解説]
BDに補助線を引く。
△ABK：△KBD ＝ 1：2
△CDN：△NDB ＝ 1：2

これから
△ABK＋△CDN は全体の四角形の1/3

答え 55

質問１
△ABK：△KBD ＝ 1：2
△CDN：△NDB ＝ 1：2
までは分かるのですが、「これから…なぜ 全体の四角形の1/3」になるのかが分かりません。

質問２
△ABK：△KBD ＝ 1：2
△CDN：△NDB ＝ 1：2
これで、△ABKと△CDNは比で1となるようですが
同じ「面積」になるのですか？

回答No.5

mizuwa

ANo.3　です
すみません。訂正です。

誤△ＣＤＮ＋△ＮＤＢ＝△ＡＢＤ・・・(5)
正△ＣＤＮ＋△ＮＤＢ＝△ＣＤＢ・・・(5)

誤{△ＡＢＫ＝25/3、△ＫＢＤ＝50/3}のとき
正{△ＡＢＫ＝50/3、△ＫＢＤ＝25/3}のとき

誤{△ＣＤＮ＝20，△ＮＤＢ＝10}のとき
正{△ＣＤＮ＝10，△ＮＤＢ＝20}のとき

回答No.4

ferien

＞質問１
＞△ABK：△KBD ＝ 1：2　だから、△ＡＢＫ：△ＡＢＤ＝１：３です。
よって、△ＡＢＫ＝(1/3)△ＡＢＤ
＞△CDN：△NDB ＝ 1：2　だから、△ＣＤＮ：△ＣＤＢ＝１：３です。
よって、△ＣＤＮ＝(1/3)△ＣＤＢ
△ＡＢＤ＋△ＣＤＢ＝四角形ＡＢＣＤだから、
△ＡＢＫ＋△ＣＤＮ
＝(1/3)△ＡＢＤ＋(1/3)△ＣＤＢ
＝(1/3)（△ＡＢＤ＋△ＣＤＢ）
＝(1/3)四角形ＡＢＣＤ

になります。

＞質問２
△ABK：△KBD ＝ 1：2
△CDN：△NDB ＝ 1：2
＞これで、△ABKと△CDNは比で1となるようですが
＞同じ「面積」になるのですか？
それぞれ面積の違う三角形に対する比が１と言うことなので、同じ面積ではありません。

どうでしょうか？

回答No.3

mizuwa

質問１

△ＡＢＫ：△ＫＢＤ＝1：2・・・・・・・(1)
△ＡＢＫ＋△ＫＢＤ＝△ＡＢＤ・・・(2)
(1)(2)から、
・・・△ＡＢＫ＝(1/3)△ＡＢＤ・・・(3)

△ＣＤＮ：△ＮＤＢ＝1：2・・・・・・・(4)
△ＣＤＮ＋△ＮＤＢ＝△ＡＢＤ・・・(5)
(4)(5)から、
・・・△ＡＢＫ＝(1/3)△ＣＤＢ・・・(6)

四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＤ＋△ＣＤＢ・・・(7)

(3)(6)(7)から
△ＡＢＤ+△ＡＢＫ
＝(1/3)△ＡＢＤ＋(1/3)△ＣＤＢ
＝(1/3)四角形ＡＢＣＤ
＝(1/3)＊165
＝55

ーーーーーーーーーーーー

質問２

同じ面積になりません。

例
{△ＡＢＫ＝25/3、△ＫＢＤ＝50/3}のとき
・・・△ＡＢＫ：△ＫＢＤ＝1：2

{△ＣＤＮ＝20，△ＮＤＢ＝10}のとき
・・・△ＣＤＮ：△ＮＤＢ＝1：2

となりますが、
【△ＡＢＫ≠△ＣＤＮ】です

★
△ＡＢＫの1という比は、△ＫＢＤと比べた値であり
△ＣＤＮの1という比は、△ＫＢＤと比べた値であり
・・・△ＡＢＫと△ＣＤＮを比べたものでないからです。
比を考えるときは、何と何を比べているかが重要です

回答No.2

KEIS050162

△ABD：△BDC　の比を　仮に　ｍ：ｍ　とおいて、全体の面積をSとおいてゴリゴリと計算してみます。

△ABD　は、Sのm/(m+n)倍　、　△BDCは、Sのn/(m+n)倍。

従って、△ABK＝１／３×Sm/(m+n)、△CDN＝１／３×Sn/(m+n)

これを足すと、△ABK+△CDN＝1/3×S×(m+n)/(m+n)＝S/3　ですね。

質問の２の　△ABK：△CDNは１：１にはなりません。ｍ：ｎです。

ご参考に。

回答No.1

aries_1

質問1:△ABDも△DNCも分割した三角形の1/3だから元に戻しても1/3になるだろうという論法です
質問2:二つの三角形を別物として考えているため上側の比は△ABKについて、下側は△BDCについての比なので面積は違います