行列の問題

質問

R⁴の線形変換gの行列が

B＝画像を見てください。

のときIm(f),Ker(f)のそれぞれの１組の基底と次元を求めなさい。

教科書に載っていた問題ですが解けません。
解答して頂けると助かります。
お願いします。

回答No.2

Tacosan

「基底」の定義はしっかり理解してください. 「いまいち理解できない」ということですが, あなたの使っている教科書ではどのように書かれていて, それに対しどこまで理解できてどこがわからなくなってしまっているのですか?

行列 B = (b1 b2 ... bn) による線形変換 f でベクトル x = (x1, x2, ..., xn) は f(x) = b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn にうつります. つまり f の像は「b1, b2, ..., bn の線形結合」なわけだから, Im(f) は「b1, b2, ..., bn によって張られるベクトル空間」に一致します. 従って, b1, b2, ..., bn のうち独立なものを全て選べばそれが Im(f) の基底 (の 1組) になりますし, その本数は Im(f) の次元です.

一方 Ker(f) は「Bx = b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn = 0 となるベクトル x = (x1, x2, ..., xn) の集合」で, これもベクトル空間になります (理由はわかりますか?). そして, 方程式 Bx = 0 を解くと, パラメータ s1, s2, ..., sm を用いて
x = a1 s1 + a2 s2 + ... am sm
と書け, このとき m が Ker(f) の次元であり, また a1, a2, ..., am が Ker(f) の基底 (の 1組) になります.

ということで, どちらも基本変形を行うことでわかる, はずです (あなたの計算がどこで「うまくいなかくなっている」のかは知りませんが).

そしてもちろん「こんなところでこんなふうに書いている説明」は鵜呑みにしちゃいけない. 線形代数の授業で出てきたのなら, なおさら教員に質問すべし.

お礼

ありがとうございます。

もう一度丁寧に計算してみます。

そうですね。
Tacosanさんの言う通り先生に質問してみます。

回答No.1

Tacosan

どこまでわかって何で困っている?

補足

解答ありがとうございます。
説明不足ですみません。

行列Bを基本変形して、Im(f)を出して次元定理からKer(f)を出せば良いと
思ったのですが、計算がうまく出来ませんでした。
基底は定義がいまいち理解出来なかったので
どうしたら良いのか分かりませんでした。

よろしければ教えて頂けますか？