• 締切済み

数学の、集合・位相空間に関する質問です

数学の、集合・位相空間に関する質問です 「Prove that the set of all real functions defined on the closed unit interval has cardinal number 2^c」 簡単に訳すと、 閉区間集合上で定義される全ての実関数の基数が2のc乗であることを示せ。 閉区間の濃度が2のc乗であることを示せという事だと思うんですが、この証明が難しくて出来ません。教えてもらえないでしょうか。 cは、連続体の基数。つまり、実数集合Rのcardinal number を示しているようです。

みんなの回答

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.2

うん，確かに訳も微妙なところがなんだし >閉区間の濃度が2のc乗であることを示せ こんなことどこに書いてないし，そもそも閉区間の濃度は2^cじゃないのは かなりの基本事項だと思う． この問題は 実数に付随するある有名な集合で （この集合自体は任意の集合に対して構築できる）濃度が2^cであるものと 閉区間[0,1]（closed unit intervalっていってるから 本当は[a,a+1]タイプかもしれんが，[0,1]でも一般性を失わない． 本当に一般性を失わないかは比較的に簡単に示せる） での実関数全体の集合（連続とかいってないのが重要）が 同じ濃度であることを示すってことでOKでしょう．

hotokeno-za
質問者

お礼

問題文の解釈を教えてくださってありがとうございます. イメージとしては, 実数関数全体の集合が, [0, 1]上での集合族で, [0, 1]の濃度がRと同じcであるから, その集合族は2^cである. といった感じかと思ったんですが, 2^cである集合の濃度とは「濃度がcである集合族の濃度」という解釈なのでしょうか.

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「簡単に訳した」結果が微妙に違うし, この質問は「閉区間の濃度が2のc乗であることを示せ」などと言ってないよ.... ってか, 「閉区間の濃度」ってなんだ. ところで, 濃度が 2^c であるような集合を知りませんか?

hotokeno-za
質問者

お礼

返信ありがとうございます. もう少し問題文の理解に努めます. >>ところで, 濃度が 2^c であるような集合を知りませんか? 2^cは聞いたことがありません…. 任意の有限集合に対するクラスが2^nであることは分かるのですが, それを無限集合で捉えたものでしょうか？

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 集合と位相の問題なんですが・・・・

    今大学で集合と位相をやっているんですが、なかなか理解しにくいです。簡単なことならまだ理解できるんですが。 (1)集合族｛Ａ_λ｝_λ∈Λに対して次を証明しなさい。包含関係∪_λ∈Λ（Ａ_λの閉包）⊆｛（∪_λ∈ΛＡ_λ）の閉包｝が成立する。また、等号成立の為の必要十分条件は∪_λ∈Λ（Ａ_λの閉包）が閉集合となることである。 (2)Ａ_ｎ（ｎ＝３，４、・・・）を実数の開区間（１／ｎ、１－１／ｎ）とする。これらのＡ_ｎに対しては、(1)の等号が成立しないことを示せ。 この問題は、正確に答えるにはどう解答すればいいのかわかりません。(1)の等号成立条件もさっぱりわかりません。(2)は、∪_λ∈Λ（Ａ_λの閉包）が閉集合にならないことをしめせばいいんでしょうが、そこまでもっていけれません。 どうか、丁寧な回答、解説をおねがいします。またよければ、こんなまったく理解できてない私に、お勧めの参考書を紹介していただければありがたいです。よろしくお願いします。

  • 集合の濃度と写像について

    (1) 自然数全体の集合、実数全体の集合を全角の大文字 Ｎ , Ｒ と表すことにします。 ガウスの整数環 { a + b √- 1 | a , b は整数} 素数全体 Ｎ で定義された実数値関数全体 F ( Ｎ , Ｒ ) 上記の3つの集合の濃度は次の３つのうちのどれに当てはまりますか。 １．Ｎ の濃度に等しい。 ２．Ｒ の濃度に等しい。 ３．Ｎ , Ｒ の濃度のいずれとも等しくない。 (2) 開区間 ( 0 , 1 ) から閉区間 [ 0 , 1 ] への全単射を作ってください。 答えだけでよいので、どなたか教えていただけませんか。

  • Borel集合の例

    「実数直線R上のボレル集合体 B(R) は、R 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である」のは正しいと思いますが、実数直線上の完全加法族で、B(R)を真に含んでいるものの例はあるのでしょうか？ (ただし、Rには通常の位相を入れるものとします。)

  • 無理数全体のつくる集合

    集合(入門レベル)を勉強し始めたばかりで、 「無理数全体の集合Pについて、Pの濃度は可算濃度より大きい。」 ことの証明について悩んでいます。 証明の仕方としては、 (1)｜P|＝|PUQ｜（Qは有理数全体の集合とする。）を証明して、 (2)R＝PUQ（実数の集合をRとする。）より、 　｜P|＝｜R|＝ｃ（ｃは連続体濃度）が成り立ち、 (3)ｃ＞可算濃度より、 　｜P｜＞可算濃度　　　　　　　　　　　（証明終わり） これでいいのでしょうか。 もっと適当な証明があれば教えてください。 　

  • 位相（入門）

    次の問題がわかりません。 なにか分かりやすいアドバイスをお願いします。 問. A= {x∈R :a≦x<b} =[a,b) (a<b), B= {y∈R :c≦y<d} =[c,d) (c<d) 　とするとき、次の問に答えよ。（証明つきで） 　（1）A×BはR^2の開集合であるか。 　（2）A×BはS×Sの開集合であるか。 半開区間の直積がどうなるのかがわかりません。 S×Sは何のことかわかりません。Sorgenfrey直線のSなのでしょうか。 位相は、ほぼ独学で学び始めたところです。 上の問題の証明の考え方だけでも教えていただければ助かります。

  • これはハイネ-ボレルの定理の矛盾?

    こんにちは。 『(ハイネ-ボレルの定理)コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである』 というのを本で見かけました。 『実数空間Rの閉区間[a,b]はコンパクトである(ハイネ-ボレルの定理)』というのも見かけましたので「なるほど、Rはコンパクト位相空間だから[a,b]はコンパクトになるんだなあ。」 と思っていましたら その後に 『[例] 実数空間Rにおいて、R及び、開区間(a,b)はコンパクトでない事を証明せよ』 とも書いてありました。 Rは位相空間ですがコンパクトでなくても閉区間[a,b]はコンパクトになるのですか? 何かおかしくないですか? ハイネ-ボレルの定理に詳しい方ご解説をお願い致します。

  • RとR^2の区別について

    公理的集合論に関する質問だと思います、よろしくお願いします。 「RとR^2は純粋に集合としては間に全単射があるので区別できず、位相の構造まで入れないと区別できない」というようなことを教えていただきました。 しかしRは実数の集合、R^2は実数の順序対の集合であり、構成要素が異なっていると思います(もちろん実数をどういうように構成するのかということも関わってくると思いますが、RをQを完備化したものと考えても、やはりRとR^2では構成要素が異なると思います)。 つまり構成要素で考えればさらなる構造を入れなくても、集合として区別ができるのではないか、と感じるのです。 このことを私はRの構成はいろいろあるが、完備順序体としてはどのような構成によっても同型となる(つまり構成要素は違っても重要な性質は同じなので同じRと考えることができる)、ということから類推して濃度という側面だけからみるとRとR^2は区別できないという意味だ、ととらえました。区別できる、区別できないというのはどういう意味での区別なのかを考えなければならない、と。 ただここで疑問なのですが、ZFCのような形式的な集合論においてはこの要素に関しての区別というのはどのように扱われているのでしょうか。形式的な証明においては集合がこれこれの性質を満たす、というような議論が多く(互いに同型であるなど)、要素そのものを取り出してきてそれ自体の形に注目するのを見ません。フォーマルな形式的な議論においてもR^2は順序対からできているのだからある意味ではRとは集合として異なるのだ、というように扱うことができる、つまり違う集合として扱うことができるのでしょうか。 もしできないとすると非可算の濃度の集合は(位相などさらなる構造を考えないならば)結局一種類であり、区別するとか区別できないとかいうことが、そもそも意味をなさないのではないか、と思うのです(というより位相を入れて初めてRとかR^2が異なるものとしてでてくるのであり、純粋に集合としては違う名前をつけて議論すること自体できないのではないか、などとも感じるのです)。 この方面に明るい方、お暇でしたらご教授下さい。

  • ある区間での関数の連続性を示すためには？

    閉区間[0,1]上で定義された実数値関数fは、次の二つを満たす (1)任意の実数a,b、ただし0≦a≦b≦1に対し、集合{f(y)|a≦y≦b}は、区間{f(a),f(b)}または{f(b),f(a)}を含む。 (2)任意の実数cに対し、区間[0,1]に含まれるf(x)=cとなるような実数x全体の集合は閉集合（空集合もありうる）となる このとき、fが区間[0,1]で連続であることを示したいのですが まず、連続性を証明する方法をよく知りません。 ε-δ論法が連続性を示す方法の一つだということを聞きましたが、大学一回生のときの授業で習っていないのであまりよくわかっていません。これは、ε-δ論法を使って証明するのでしょうか？ 他には、教科書を見直したところ、中間値の定理の逆（当然成り立ちませんが）に似ているので、そのあたりを使うのかとも思ったのですが。。。 ヒントになりそうなホームページや、アドバイスを頂けたら幸いです

  • 実数の整列化について

    　大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は 「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」 という内容でした。 　さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。 　それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。

  • 初期値依存カオスの初歩的な質問

    初期値依存カオスであっても、初期値ｘと、Lim Δx→０　ｘ＋Δx　の結果は、同じと思っています。 理由は、初期値のずれで、結果が違ってくるのが、ずーっと「遠方」だからです。 （間違いなら、ご指摘下さい） それで、 マンデルブロ集合において、点ｃ（複素数）が、含まれるとします。 すると、Lim　Δ→０　ｃ＋Δ　という点（Δは実数としてもよい）は、含まれないです。 （http://okwave.jp/qa/q7096563.html　のsaganstarさんの証明より） ここで、以下の関数？　を考えます。 定義域：マンデルブロ集合の実数区間に挟まれた全ての実数 関数の定義：　 　　　定義域の値が、マンデルブロ集合に含まれれば、１ 　　　含まれなければ、０ この関数は、初期値依存カオスと言えるのでしょうか？ それとも、単なる写像としたら、　これは　初期値依存カオスよりランダムでしょうか？

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する