初期値依存カオスの初歩的な質問
- 初期値依存カオスであっても、初期値ｘと、Lim Δx→０ ｘ＋Δx の結果は、同じと思っています。
- マンデルブロ集合において、点ｃが含まれるとします。すると、Lim Δ→０ ｃ＋Δ という点は含まれないです。
- 初期値依存カオスの関数は、初期値のずれで結果が違ってくるのが遠方だから、ランダムではなくカオス性があります。
- ベストアンサー
初期値依存カオスの初歩的な質問
初期値依存カオスであっても、初期値ｘと、Lim Δx→０ ｘ＋Δx の結果は、同じと思っています。 理由は、初期値のずれで、結果が違ってくるのが、ずーっと「遠方」だからです。 （間違いなら、ご指摘下さい） それで、 マンデルブロ集合において、点ｃ（複素数）が、含まれるとします。 すると、Lim Δ→０ ｃ＋Δ という点（Δは実数としてもよい）は、含まれないです。 （http://okwave.jp/qa/q7096563.html のsaganstarさんの証明より） ここで、以下の関数？ を考えます。 定義域：マンデルブロ集合の実数区間に挟まれた全ての実数 関数の定義： 定義域の値が、マンデルブロ集合に含まれれば、１ 含まれなければ、０ この関数は、初期値依存カオスと言えるのでしょうか？ それとも、単なる写像としたら、 これは 初期値依存カオスよりランダムでしょうか？
- morimot703
- お礼率62% (123/197)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数2
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
C=(全複素数) M=(マンデルブロ集合)⊂C f:C→{0,1} x∈M→f(x)=1 x∈C-M→f(x)=0 と関数fを定義すると, f(1/4)=1≠0=lim_{Δx→+0}f((1/4)+Δx) f(-2)=1≠0=lim_{Δx→-0}f(-2+Δx) x<-2 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とすると z_1=x<-2 z_2=x^2+x=x(x+1)>2 z_3=x^2(x+1)^2+x=x{x(x+1)^2+1} z_3-z_2=x^2(x+1)^2-x^2=x^3(x+2)>8|x+2| あるk>1に対してz_{k+1}>z_k+8|x+2|>z_k>2を仮定すると z_{k+2}-z_{k+1} =(z_{k+1})^2-(z_k)^2 =(z_{k+1}-z_k)(z_{k+1}+z_k)>32|x+2|>8|x+2| z_{k+2}>z_{k+1}+8|x+2|>z_{k+1}>2 だからすべての自然数n>1に対して z_{n+1}>z_n+8|x+2|>z_n>2 ↓n≧2に対して z_{n+1}-z_2=Σ{k=2～n}(z_{k+1}-z_k)>8(n-1)|x+2| ↓n≧2に対して z_{n+1}=z_2+8(n-1)|x+2| ↓ ∀K>0に対して ∃n_0>max(K,K/|x+2|)+2 ∀n>n_0 →z_n=z_2+8(n-2)|x+2|>2+8|x+2|max(K,K/|x+2|)>K lim_{n→∞}z_n=∞ だから 任意の負実数Δ<0に対して (-2)+Δはマンデルブロ集合に含まれない -2≦x≦0 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とすると |z_0|≦|x| ある自然数k>0に対して|z_k|≦|x|を仮定すると x≦z_{k+1}=(z_k)^2+x≦x^2+x≦-x |z_{k+1}|≦|x| だからすべての自然数n>0に対して |z_n|≦|x| だから -2≦x≦0となる点xはマンデルブロ集合に含まれる |x|≦1/4 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とする |z_0|=0<1/2 あるkに対して|z_k|<1/2を仮定すると |z_{k+1}|=|{(z_k)^2}+x|≦|z_k|^2+(1/4)<1/2 だからすべての自然数n≧0に対して |z_n|<1/2 だから |x|≦1/4となるxはマンデルブロ集合に含まれる ∴-2≦x≦1/4となる点xはマンデルブロ集合に含まれる x>1/4 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とすると z_1=x>1/4>0=z_0 あるkに対してz_k>z_{k-1}≧0を仮定すると z_{k+1}-z_k =(z_k)^2-(z_{k-1})^2 =(z_k-z_{k-1})(z_k+z_{k-1})>0 z_{k+1}>z_k>0 {z_n}_{n∈N}は単調増加 xがマンデルブロ集合に含まれる仮定すると {z_n}_{n∈N}は有界単調増加だから収束するから lim_{n→∞}z_n=z とすると z^2+x=z (z-1/2)^2=(1/4)-x≧0 x≦1/4となってx>1/4に矛盾するから 任意の正実数Δ>0に対して (1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれない 実際に Δ=0.001 x=(1/4)+0.001 =0.251 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+0.251 として z_nをExcelで計算してみると, z_2=0.314… … z_6=0.4… … z_{45}=0.5… … z_{86}=0.6… … z_{91}=0.7… z_{92}=0.74… z_{93}=0.8… z_{94}=0.895… z_{95}=1.05… z_{96}=1.3583… z_{97}=2.096… z_{98}=4.6… z_{99}=21.8… z_{100}=476.37… z_{101}=226930.268… z_{102}=51497346663 z_{103}=2.65198*10^{21} z_{104}=7.03298*10^{42} z_{105}=4.94628*10^{85} z_{106}=2.4466*10^{171} z_{107}=#NUM! となってオーバーフローが発生し 到底収束するなどとはいえないので, 0.251はマンデルブロ集合に含まれないのは明らか
その他の回答 (3)
－２≦ｘ≦１/４はM集合のようです。 －２、1/4は境界点のようです。 しかし、これはx軸上の話であって 複素数全体において、境界線が存在するかどうかは 未解決のようです。
補足
＞複素数全体において、境界線が存在するかどうか 以下を見ると、マンデルブロ集合は、閉集合とあります。 （ http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/mandel.pdf ） 系1.3 マンデルブロー集合M は複素平面C の閉集合である 閉集合なら、境界が存在するはず、 と思うのですが、誤解でしょうか？
０．２５が収束して、０．２５１が発散するとは 信じがたいが、そのExcelの計算は間違いありませんか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
＞ 初期値依存カオスであっても、 ＞ 初期値ｘと、Lim Δx→０ ｘ＋Δx の結果は、同じと思っています。 間違いです。
お礼
間違いを指摘して頂き、ありがとうございます。 恐縮ですが、簡単な数式で 表せる例をお教え頂けませんでしょうか。
補足
以下の系なら、初期値ｘとｘ＋ε で、結果が異なることに、気づきました。 「壁で囲まれた中に、数本（５本以上？）の固い円筒が、玉が通る程度の間隔で密集している。 そこへ、固い玉を、ぶつける」 ある円筒に当たったところｘ’が、円筒のｒ以内なら、反射。 ｘ’が、ｒ＋ε なら、素通り
関連するQ&A
- マンデルブロート集合で、すぐ近くの点は？
マンデルブロート集合のカオス領域において、点ｃ（複素数）が、含まれるとします。 では、Lim Δ→０ ｃ＋Δ という点（Δは実数としてもよい）は、含まれますか？ それとも、定義されない のでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、関数（写像）の定義
lim(x→０）(cosx-cosx^2)/(x-x^2) 解答で、ｆ（ｘ）＝cosxとすると、ｆ（ｘ）は全ての実数で微分可能で、ｆ‘（ｘ）＝-sinx ｘ＞０のとき、ｘ→＋０のとき、０＜ｘ＜１としてよく、平均値の定理より、(f(x)-f(x^2))/(x-x^2)=-sincとあります。 関数ｆ（ｘ）＝cosxのｘにｘ＾２を代入しているのが違和感があるのですが、ここで参考書で関数（写像）を調べてみたのですが、 （関数（写像）の定義） 集合Xから集合Yへの対応が次のような条件を満たす時、ｆをXからYへの関数(写像）という。 Xの任意の要素ｘに対し、Yの要素ｙがただ1つにきまる。また、Xをｆの定義域、Yをｆの終域という。 （考え） ここで、元の問題に戻ります。、ｆ（ｘ）＝cosxとしているのを考えると、ｆ（□）＝cos□という写像の□に入るものの代表としてｘという文字を使っていると理解できます。そこで、ｘ＝ｘ＾２としてみたのがｆ（ｘ＾２）と考えると、ｘ＝ｘ＾２としてさらにそのｘ＾２のｘには任意の数が代入できるとして混乱しますが、□に入る数字の代表としてｘ＾２を入れても□には実数が入れるから当然大丈夫。ｘ＾２とすると、□には０以上の実数が入っていくと理解してよいですか？ （一般化すると、関数の変数は集合の定義域に収まっていればどのようなものを代表にしてもよい）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開と関数値の求め方
２変数関数f(x,y)があり、閉区間[a-b]×[c-d]で定義されているとします。 関数は区間内の少なくとも１点でテイラー展開可能であり、関数値はそれに一致します。 点(a,c)での極限値 lim[x→a]f(x,c) lim[y→c]f(a,y) や、偏微分係数 lim[x→a]fy(x,c) lim[y→c]fx(a,y) … が与えられていれば、関数値f(a,c)が求められると予想したのですが、どう考えればいいですか？ なお、これ以外の条件が必要なら、付けて構いません。
- 締切済み
- 数学・算数
- ∞の定義とは何なのでしょうか?
∞の定義がよく分かりません。 拡張された複素数C∪{∞} (但し,∞はCの元ではない)を考えてふと疑問なのですが ∞はただの記号という説明を見かけた事もありますがそれなら∞は無定義語なのでしょうか? でも{ }という集合を表す中括弧で括ってあるから∞はある集合なのでしょうか? 無限集合の濃度はアレフ_0,アレフ_1,アレフ_2,… とありますが アレフ_0以上の濃度を∞という記号で表すと解釈したのですがこれで正しいでしょうか? そして-∞と+∞という記号は極限の概念で限りなく大きくなる場合,例えば lim_{x→0}1/x=+∞ と表す事にし, 負の方向に限りなく大きくなる極限を lim_{x→0}-1/x=-∞ と表す事にしようと誰かが決めたのでしょうか? すいません。質問が多くて。。
- 締切済み
- 数学・算数
- 関数についていろいろ質問してきましたが、気になる事がありました。
関数についていろいろ質問してきましたが、気になる事がありました。 何かというと、関数を写像や集合を用いて説明してある回答があったという事です。 しかし自分はこの説明を見てもあまりピンと来ませんでしたし、難しく感じました。 集合といっても、数Aの教科書に数ページ載ってて、あまり深くやった事ないし、写像についても、数Cの教科書に数ページ出てくるくらいで、あまり深くやった事ないです。 関数を写像や集合として捉えるのは、大学になってから深く学ぶのですよね? 少なくとも、高校の教科書や参考書には、関数を写像や集合を用いて表してありません。 『yがxの関数であることをy=f（x）と表し、この関数を単に関数f（x）ともいう。』 ぐらいしか記述されてません。 まあこの記述は現代的見方からすると正しくはない、とご指摘を受けましたが。 まあ教科書にはありませんが、yは従属変数、xは独立変数だという事は当然知っておくべきだと思います。 ちなみに自分の志望学部は経済学部か情報工学部ですが、関数の写像や集合としての見方は大事でしょうか? とにかく、高校生である今はただ関数は写像や集合としての見方もあるんだと知っておくだけでいいですかね? もし今知っておくべきならば、詳しく教えていただきたいです。まあ、教えられても、記号が何を表すかぐらいしか分からないと思うので、さっぱりかもしれませんが。 教えるのは、今知っておくべきならばでいいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率変数（実数値可測写像）について
以下の主張で分からない点があります。 Od(R)：Rのユークリッド距離位相 σ(Od(R))：Rのボレル集合族 (Ω,Ｆ)：可測空間 とする。 F-σ(Od(R))可測写像X：Ω→R （すなわち「任意のRのボレル集合ΓのXによる逆像X^-1(Γ)がFに属する」を満たすXのこと）を (Ω,Ｆ)上確率変数という。 (1)（極限確率変数） [Xn]を(Ω,Ｆ)上確率変数の可算列とするとき ｆ=lim（上極限）Xnを Ω→R；f(ω)=lim（上極限）(Xn(ω)) で定義するとfも(Ω,Ｆ)上確率変数になる。 (2)（和・スカラー倍に関して閉じていること） (Ω,Ｆ)上確率変数X,Yと実数aに対し aXをΩ→R；(aX)(ω)=aX(ω) X+YをΩ→R；(X+Y)(ω)=X(ω)+Y(ω) と定義するとX+Y、aXも(Ω,Ｆ)上確率変数になる。 (1)で関数値が∞になることがあるので、実数値ではなく、補完数直線への写像と考えたのですが、その場合上の仮定で位相やボレル集合族をどう与えればよいか分かりません。 (2)で(1)のように確率変数の関数値が∞になることがあるとすると、aXの定義から、値が-∞にもなり得るので、X+Yを定義しようとしたときに∞-∞の不定形が出てくると思いますが、どのように解釈すればよいでしょうか？ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 写像であって関数でない例
写像であって関数でない例で説明上、非常にわかりやすい例を探しています。 関数は写像の一部で、終域が実数や複素数などの体になっているものを言うと思いますが、何かわかりやすく説明できる例などはないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数の複素数乗の定義の仕方は?
定義集を作っています。 集合や写像を定義してからN,Z,Q,R,Cの四則演算等や環や体を定義しました。 そして、e:=lim[t→0](1+t)^(1/t)をε-δで定義しました。 この後、累乗の定義をしようとしたのですが 後でいちいち定義の拡張をしなくていいように 複素数の複素数乗(z^w (z,w∈C))を一気に定義してしまおうと思っています。 先ずはz^wの定義は z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<arg(z)≦2π) だと思いますが logとargの定義をしてしまわねばなりません。 argは図を使わずに数式として定義は出来ないのでしょうか? (図で定義するのなら先ず図とは何かを定義しなければなりませんよね) そして、logはmap f:R→R;R∋∀x→f(x):=e^xの逆写像として定義されると思います。 然しながらここでe^xと累乗を使ってしまってます(累乗は未定義なのに)。 どうすればlogを累乗を避けて定義できますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうござます。 実数軸上は（おそらく複素平面でも）、連結なのですね。 おかげで、誤解が解けました。 僕の目的は、定義域ｘのいたるところで、f(x)とf(x＋ε)が異なり、値が１と０のみである 白色雑音の関数を定義することです。 何かアドバイスがあれば、お教え下さい。